连通性问题
图的强连通
对于一个有向图顶点子集S,如果在S内任取两个顶点u和v，都能找到一条从u到v的路径，那么就称S是强连通的。
强连通分量：如果在强连通顶点集合S中加入其它任意顶点集合后，它都不再是强连通的，那么就称S是原图的一个强连通分量
1.Kosaraju
因为强连通分量内的顶点，其可达性不受变得方向的影响，因此在原图和边反向的图上分别进行一次dfs
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int V,E;
vector<int> G[100005];
vector<int> rG[100005];
vector<int> vs;
bool used[100005];
int in[100005],out[100005];
int x[100005],y[100005],cmp[1000005],cnt[1000005];
void addedge(int from,int to){
G[from].push_back(to);
rG[to].push_back(from);
}
void dfs(int v){
int i;
used[v]=1;
for(i=0;i<G[v].size();i++)
if(!used[G[v][i]])
dfs(G[v][i]);
vs.push_back(v);
}
void rdfs(int v,int k){
int i;
used[v]=1;
cmp[v]=k;
for(i=0;i<rG[v].size();i++)
if(!used[rG[v][i]])
rdfs(rG[v][i],k);
}
int scc(){
int i,k;
memset(used,0,sizeof(used));
vs.clear();
for(i=0;i<V;i++)
if(!used[i])
dfs(i);
memset(used,0,sizeof(used));
k=0;
for(i=vs.size()-1;i>=0;i--)
if(!used[vs[i]])
rdfs(vs[i],k++);
return k;
}
int main(){
int t,i,j,ans,cas,tmp;
scanf("%d",&t);
for(cas=1;cas<=t;cas++){
scanf("%d%d",&V,&E);
for(i=0;i<V;i++){
G[i].clear();
rG[i].clear();
vs.clear();
}
for(i=0;i<E;i++){
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
x[i]--,y[i]--;
addedge(x[i],y[i]);
}
ans=scc();
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
图的双联通
1.在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合(割集)
点连通度：最小割点集合中的顶点数
点双联通：如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双联通
当这个图的点连通度为1时，则割点集合的唯一元素被称为割点，又称关节点，给出求割点的代码，以poj1144为例
#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
vector<int> G[105];
int dis[105],low[105],vis[105],cnt[105];
int k,kk;
void dfs(int x){
int i,tmp;
k++;
dis[x]=low[x]=k,vis[x]=1;
for(i=0;i<G[x].size();i++){
tmp=G[x][i];
if(!vis[tmp]){
dfs(tmp);
low[x]=min(low[x],low[tmp]);
if(low[tmp]>=dis[x]&&x!=1)
cnt[x]++;
else if(x==1)
kk++;
}
else
low[x]=min(low[x],dis[tmp]);
}
}
int main(){
int n,i,a,b,ans;
while(scanf("%d",&n)!=-1){
if(n==0)
break;
for(i=0;i<=n;i++)
G[i].clear();
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
while(scanf("%d",&a)&&a){
while(getchar()!='\n'){
scanf("%d",&b);
G[a].push_back(b);
G[b].push_back(a);
}
}
k=kk=ans=0;
dfs(1);
if(kk>=2)
ans++;
for(i=1;i<=n;i++)
if(cnt[i]>=1)
ans++;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
2.边双联通：如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双联通
当这个图的边连通度为1时，则割边集合的唯一元素被称为桥，又称关节边，给出求桥的代码,以zoj2588为例
#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct edge{
int to,id,num;
edge(int a,int b,int c){
to=a,id=b,num=c;
}
};
vector<edge> G[20005];
int low[20005],dis[20005],vis[20005],ans[20005];
int n,m,k,kk;
void dfs(int x,int fa){
int i;
vis[x]=1;low[x]=k;dis[x]=k++;
for(i=0;i<G[x].size();i++){
edge e=G[x][i];
if(!vis[e.to]){
dfs(e.to,x);
low[x]=min(low[x],low[e.to]);
if(low[e.to]>dis[x]&&e.num==0)
ans[kk++]=e.id;
}
else if(e.to!=fa)
low[x]=min(low[x],dis[e.to]);
}
}
int tarjan(){
k=kk=0;
dfs(1,1);
return kk;
}
int main(){
int T,a,b,i,j,l,ans1,flag;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=0;i<=n;i++){
vis[i]=0;
G[i].clear();
}
for(i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
flag=0;
for(j=0;j<G[a].size();j++){
edge e=G[a][j];
if(e.to==b){
flag=G[a][j].num=1;
for(l=0;l<G[b].size();l++){
edge ee=G[b][l];
if(ee.to==a)
G[b][l].num=1;
}
}
}
if(flag==0){
G[a].push_back(edge(b,i,0));
G[b].push_back(edge(a,i,0));
}
}
ans1=tarjan();
printf("%d\n",ans1);
sort(ans,ans+kk);
for(i=0;i<kk;i++){
if(i!=kk-1)
printf("%d ",ans[i]);
else
printf("%d\n",ans[i]);
}
if(T)
printf("\n");
}
return 0;
}