DirectX11学习笔记(2) 基础数学知识
基础数学知识
一、向量
1、 向量：
向量可以用来表示力，位移，速度等等物理量。此外，还可以用向量来表示方向，例如3d物体的朝向，射线射向的方向等等。向量有这样的特点，判断两个向量相等的条件是大小和方向相等，与位置无关。如u向量和v向量便是相等向量。
2、坐标系：
三条两两垂直的坐标轴，提供一个基准点，将向量起点都移动到原点处便于各种计算。在DirectX3D中使用的是左手坐标系，左手坐标系判断方法可以通过左手四指从x轴旋向y轴,这时候大拇指指向的方向就是z轴方向。
3、基础向量运算
向量支持加减，展缩和复制运算。如：
u+v=(1,3,5)+(2,4,6)=(3,7,11)
u-v=(1,3,5)-(2,4,6)=(-1,-1,-1)
2u=2(1,3,5)=(2,6,10)
u=v
4、向量的模与标准化向量
标准化后的向量长度为1，如果只关心向量的方向，某些应用下可以使用标准化向量。
向量 u=(x,y,z)
向量的模 |u|=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)
标准化向量 v=u*(1/|u|)=(x/|u|,y/|u|,z/|u|)
5、向量点乘
u=(x,y,z) v=(i,j,k)
u·v=x*i+y*j+z*k=|u|*|v|*cosα(α为为两个向量之间的夹角)
6、向量正交标准化
将一组向量通过运算使得组内任一个向量与其他向量垂直，然后对组内的向量进行标准化。
7、向量叉乘
u=(ux,uy,uz) v=(vx,vy,vz)
w=u ×v=(uy*vz-uz*vy,uz*vx-ux*vz,ux*vy-uy*vx)
用左手法则可以判断w向量的方向，即左手四指从u的方向绕向v的方向，拇指指向的方向即是w向量的方向。如果w1=v×u，w1方向与w方向相反。
8、XNA数学库
1、在DirectX11使用的XNA数学库来进行数学运算。XNA中利用了硬件中的特殊寄存器，在Windows操作系统下，使用SSE2指令集可以用更少的指令完成运算，如执行四维向量的加法只要一条SIMD指令即可完成。
在XNA数学库中，向量的类型是XMVECTOR,如果支持SSE2，它是这么定义的
typedef __m128 XMVECTOR
XMVECTOR需要占用128位，全局变量和局部变量使用XMVECTOR类型，建议用XMFLOAT2 、XMFLOAT3、 XMFLOAT4代替XMVECTOR 声明类的成员变量，但是如果直接用它们来计算就不能用到SIMD，如果要用SIMD就要使用loading函数转换类型XMFLOAT*到XMVECTOR，计算完成后，再用storage函数转换回XMFLOAT *。
2、为了更好地利用SIMD，在传递参数的时候，有些需要遵守的规则。这些规则根据平台的不同而不同。在传入XMVECTOR参数时，前三个XMVECTOR的类型是FXMVECTOR，其余的参数类型是CXMVECTOR。
3、常向量应该是XMVECTORF32类型的。常量数据是整数类型时使用XMVECTORU32。
4、XMVECTOR对加法，减法，展缩运算进行了操作符重载。可以通过XM_NO_OPERATOR_OVERLOADS定义来关闭操作符重载，这样可以提高性能，原因是函数操作在复杂的表达式中运行效率更高。
测试代码：
//xnamath.h已经改成DirectXMath.h
#include <iostream>
#include <windows.h>
#include <DirectXMath.h>
using namespace std;
using namespace DirectX;
//操作符重载
ostream& operator<<(ostream& os, FXMVECTOR v)
{
XMFLOAT3 dest;
XMStoreFloat3(&dest, v);
os << "(" << dest.x << "," << dest.y << "," << dest.z << ")";
return os;
}
int main()
{
cout.setf(ios_base::boolalpha);
if (!XMVerifyCPUSupport())
{
cout << "不支持xna math" << endl;
return 0;
}
XMVECTOR p = XMVectorZero();
XMVECTOR q = XMVectorSplatOne();
XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 2.0, 3.0f,0.0f);
XMVECTOR v = XMVectorReplicate(-2.0f);
XMVECTOR w = XMVectorSplatZ(u);
cout << "p=" << p << endl;
cout << "q=" << q << endl;
cout << "u=" << u << endl;
cout << "v=" << v << endl;
cout << "w=" << w << endl;
return 0;
}
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