彻底弄懂最短路径问题

一.问题引入

        问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出一篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。笔者认为任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。

二.Dijkstra算法

        该算法在《数据结构》课本里是以贪心的形式讲解的，不过在《运筹学》教材里被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。

           

        观察右边表格发现除最后一个节点外其他均已经求出最短路径。

        (1)   迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是next点)递增次序产生最短路径。先把V分成两组：

• S：已求出最短路径的顶点的集合
• V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合

        将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证，说实话，真不明白哦）。

        (2)   求最短路径步骤

1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for循环，使用最小点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。

        下面是上图的求解过程，按列来看，第一列是初始化过程，最后一行是每次求得的next点。

           

        (3)   问题：Dijkstar能否处理负权边？（来自《图论》）

             答案是不能，这与贪心选择性质有关(ps：貌似还是动态规划啊，晕了)，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短路径；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点（dmin'），再通过这个负权边L(L<0)，使得路径之和更小（dmin'+L<dmin）,则dmin'+L成为最短路径，并不是dmin，这样dijkstra就被囧掉了。比如n=3，邻接矩阵： 
0，3，4 
3，0，-2 
4，-2，0,用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小。不知道讲得清楚不清楚。

二.Floyd算法

        参考了南阳理工牛帅(目前在新浪)的博客。

        Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查dist(AK) + dist(KB) < dist(AB)是否成立，如果成立，证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB)，这样一来，当我们遍历完所有节点K，dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

        很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for (int i=0; i<n; ++i) {
  for (int j=0; j<n; ++j) {
    for (int k=0; k<n; ++k) {
      if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j] ) {
        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
      }
    }
  }
}

        但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点K放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

        让我们来看一个例子，看下图：

        图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点K，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9，而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点K放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时dist(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：

        ps：个人觉得，这和银行家算法判断安全状态(每种资源去测试所有线程)，树状数组更新(更新所有相关项)一样的思想。

for (int k=0; k<n; ++k) {
  for (int i=0; i<n; ++i) {
    for (int j=0; j<n; ++j) {
            /*
            实际中为防止溢出，往往需要选判断 dist[i][k]和dist[k][j
            都不是Inf ，只要一个是Inf，那么就肯定不必更新。 
            */
      if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j] ) {
        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
      }
    }
  }
}

       如果还是看不懂，那就用草稿纸模拟一遍，之后你就会豁然开朗。半个小时足矣（早知道的话会节省很多个半小时了。。）

       再来看路径保存问题：

void floyd() {
      for(int i=1; i<=n ; i++){
        for(int j=1; j<= n; j++){
          if(map[i][j]==Inf){
               path[i][j] = -1;//表示  i -> j 不通 
          }else{
               path[i][j] = i;// 表示 i -> j 前驱为 i
          }
        }
      }
      for(int k=1; k<=n; k++) {
        for(int i=1; i<=n; i++) {
          for(int j=1; j<=n; j++) {
            if(!(dist[i][k]==Inf||dist[k][j]==Inf)&&dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
              dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
              path[i][k] = i;
              path[i][j] = path[k][j];
            }
          }
        }
      }
    }
    void printPath(int from, int to) {
        /*
         * 这是倒序输出，若想正序可放入栈中，然后输出。
         * 
         * 这样的输出为什么正确呢？个人认为用到了最优子结构性质，
         * 即最短路径的子路径仍然是最短路径
         */
        while(path[from][to]!=from) {
            System.out.print(path[from][to] +"");
            to = path[from][to];
        }
    }

        《数据结构》课本上的那种方式我现在还是不想看，看着不舒服……

        Floyd算法另一种理解DP，为理论爱好者准备的，上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版，而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度，其中k 表示该路径中的最大顶点，也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此，如果G中包含边<i, j>，则c[i, j, 0] =边<i, j> 的长度；若i= j ，则c[i,j,0]=0；如果G中不包含边<i, j>，则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。对于任意的k>0，通过分析可以得到：中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能：该路径含或不含中间顶点k。若不含，则该路径长度应为c[i, j, k-1]，否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。状态转移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。这样，问题便具有了最优子结构性质，可以用动态规划方法来求解。

        看另一个DP(直接引用王老师课件)

                       

 

        说了这么多，相信读者已经跃跃欲试了，咱们看一道例题，以ZOJ 1092为例：给你一组国家和国家间的部分货币汇率兑换表，问你是否存在一种方式，从一种货币出发，经过一系列的货币兑换，最后返回该货币时大于出发时的数值(ps：这就是所谓的投机倒把吧)，下面是一组输入。 
3    //国家数 
USDollar  //国家名 
BritishPound 
FrenchFranc 
   3    //货币兑换数 
USDollar 0.5 BritishPound  //部分货币汇率兑换表 
BritishPound 10.0 FrenchFranc 
FrenchFranc 0.21 USDollar

        月赛做的题，不过当时用的思路是求强连通分量(ps：明明说的，那时我和华杰感觉好有道理)，也没做出来，现在知道了直接floyd算法就ok了。

        思路分析：输入的时候可以采用Map<String,Integer> map = new HashMap<String,Integer>()主要是为了获得再次包含汇率输入时候的下标以建图(感觉自己写的好拗口)，或者第一次直接存入String数组str，再次输入的时候每次遍历str数组，若是equals那么就把str的下标赋值给该币种建图。下面就是floyd算法啦，初始化其它点为-1，对角线为1，采用乘法更新求最大值。

三.Bellman-Ford算法

        为了能够求解边上带有负值的单源最短路径问题，Bellman(贝尔曼，动态规划提出者)和Ford(福特)提出了从源点逐次绕过其他顶点，以缩短到达终点的最短路径长度的方法。 Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行不停地松弛，每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，所以SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。

        关于SPFA，请看我这一篇http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3248391.html

        递推公式(求顶点u到源点v的最短路径)：

         dist 1 [u] = Edge[v][u]

         dist k [u] = min{ dist k-1 [u], min{ dist k-1 [j] + Edge[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u

         Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的区别：Dijkstra算法在求解过程中，源点到集合S内各顶点的最短路径一旦求出，则之后不变了，修改  的仅仅是源点到T集合中各顶点的最短路径长度。Bellman算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的dist[ ]，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman算法结束才确定下来。

        算法适用条件

• 1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v)
• 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)
• 边权可正可负(如有负权回路输出错误提示)
• 差分约束系统(至今貌似只看过一道题)

        Bellman-Ford算法描述：

1. 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0
2. 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次，看下面的描述性证明(当做树)）
3. 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在d[v]中

        描述性证明：(这个解释很好)

        首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，这就是Bellman-Ford算法效率底下的原因，也正是SPFA优化的所在）。

，如图(没找到画图工具的射线)，若是B和C的最短路径不更新，那么点D的最短路径肯定也无法更新，这就是优化所在。

如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

           参考了《图论》。

        问题：Bellman-Ford算法是否一定要循环n-1次么？未必！其实只要在某次循环过程中，考虑每条边后，都没能改变当前源点到所有顶点的最短路径长度，那么Bellman-Ford算法就可以提前结束了(开篇提出的小优化就是这个)。

        上代码(参考了牛帅的博客)

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点
typedef struct Edge //边
{
  int u, v;
  int cost;
}Edge;
Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];
bool Bellman_Ford()
{
  for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
    dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
  for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
    for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
      if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
      {
        dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
        pre[edge[j].v] = edge[j].u;
      }
      bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
      for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
        if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
        {
          flag = 0;
          break;
        }
        return flag;
}
void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
  while(root != pre[root]) //前驱
  {
    printf("%d-->", root);
    root = pre[root];
  }
  if(root == pre[root])
    printf("%d\n", root);
}
int main()
{
  scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
  pre[original] = original;
  for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
  {
    scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
  }
  if(Bellman_Ford())
    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
    {
      printf("%d\n", dis[i]);
      printf("Path:");
      print_path(i);
    }
  else
    printf("have negative circle\n");
  return 0;
}</span>