华为机试：购物单

<span style="font-family: arial, STHeiti, 'Microsoft YaHei', 宋体; background-color: rgb(255, 255, 255);">王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件 附件
电脑 打印机，扫描仪
书柜 图书
书桌 台灯，文具
工作椅 无
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
    设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：
v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）
    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。
 




输入描述:
输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m
（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）


从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q


（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

 输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。

输入例子:

1000 5

800 2 0

400 5 1

300 5 1

400 3 0

500 2 0

输出例子:

2200

解题思路：这是一道背包问题。

先考虑解决背包问题，思路是这样：比如说这道题目，给定总钱数N，共有m件商品可以购买，从这m件商品中选择购买商品，使得购买商品的钱数不超过N，同时满足一定的条件K（如上面提到的每件商品的重要度与其价钱相乘的乘积之和最大）。

现在开始购买了并且我们手里有N元钱，我们从第m件商品开始考虑。对于第m件商品，首先我们要看我们手头的N元钱是不是能够付得起买第m件商品的钱。

1、如果手头的钱N元买不起第m件商品。那么我们就放弃这件商品，拿上这N元钱去买前m-1件商品。（这就转化为原问题的一个子问题，我觉得我不考虑子问题怎么解，子问题让别人帮我解。继续往下走）

2、如果我手头的N元钱买的起第m件商品。那么我也有两种选择

2.1 第一种选择，我不买第m件商品，我用N元钱买前m-1件商品，我看看我能达到到的条件K是什么。对于这道题目就是v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ]的最大值。（这就转化为原问题的一个子问题，我觉得我不考虑子问题怎么解，子问题让别人帮我解。继续往下走）

2.2第二种选择，我买下第m件商品，这用我花掉了v[m]元钱，还剩下N-v[m]元钱。我再用剩下的钱去买前m-1件商品。这样我也可以浅出一个v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ]的最大值。（这就转化为原问题的一个子问题，我觉得我不考虑子问题怎么解，子问题让别人帮我解。继续往下走）

如果2.1和2.2的情况我都能得到结果了，我就比较这两种情况，看哪个能使我的利益最大化，我就选哪个方案。至此，问题就算完成了。而题目的要求只是稍微与上面的问题有所不同，稍作修改即可。

下面就根据上面的思路列方程：

假设我们用value[i][j]来表示用j元钱，给定前i个物品（1、2、...、i）供你选择来购买方案的情况下v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 能够达到的最大值。根据上面的分析有：

1、手头的钱j元买不起第i件商品。value[i][j]=value[i-1][j](注意：下面的c++程序中这里的value[i][j]=0，如果我写成前面的话通不过一个测试用例，具体我也没有搞清楚为什么。)

2、对应前面的第2中方案，j元买得起第i件商品

2.1value[i][j] = value[i-1][j]

2.2 value[i][j] = value[i -1][j - v[i]] + w[i]

伪代码：

for (int i = 1; i <= m; i++)

for (int j = 1; j <= N; j++)

{

if (j < v[i]) { 

value[i][j] = value[i - 1][j];

}

else {

value[i][j] = max(value[i - 1][j], value[i - 1][j - v[i]] + w[i];

}

}

本题代码：只是把上述问题的解稍作修改即可满足，具体如下。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <bitset>
using namespace std;
struct Goods
{
	int v;
	int p;
	int q;
	Goods() : v(0), p(0), q(0){
	}
};
int max(int a, int b)
{
	return (a > b ? a : b);
}
int main(void)
{
	int N, m;
	vector<Goods> goods;
	cin >> N >> m;
	
	Goods temp;
	goods.push_back(temp);//第0个元素不使用
	for (int i = 1; i <= m; i++){
		cin >> temp.v >> temp.p >> temp.q;
		goods.push_back(temp);
	}

	vector<vector<int> > value(m + 1, vector<int> (N + 1));
	for (int i = 0; i <= m; i++){
		value[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 0; j <= N; j++){
		value[0][j] = 0;
	}

	for (int i = 1; i <= m; i++){
		for (int j = 1; j <= N; j++)
		{
			if (goods[i].v > j){
				//value[i][j] = value[i - 1][j];
				value[i][j] = 0;
			}
			else {
				int master = goods[i].q;
				if (master == 0){
					value[i][j] = max(value[i - 1][j], value[i - 1][j - goods[i].v] + goods[i].p * goods[i].v);
				}
				else {
					if (goods[i].v + goods[master].v > j)
					{
						//value[i][j] = value[i - 1][j];
						value[i][j] = 0;
					}
					else {
						value[i][j] = max(value[i - 1][j], value[i - 1][j - goods[i].v - goods[master].v] + goods[i].p * goods[i].v + goods[master].p * goods[master].v);
					}
				}
				
			}
		}
	}
	cout << value[m][N] << endl;
	return 0;
}

我的思考：如果要求没见商品只能选一件的话，这种解法需要所有的主件排在所有附件的后面。如果有附件排在它的主件后面，那么选择的时候可能会选择两件主件，这样就和只能选一件商品的要求不符合。

我看给出的测试用例里，所有的商品都为主件，因此没有暴露出这个问题。但是，我们必须意识到存在这样的问题。