静态区间第k大（归并树）

POJ 2104为例

思想：

利用归并排序的思想：

• 建树过程和归并排序类似，每个数列都是子树序列的合并与排序。
• 查询过程，如果所查询区间完全包含在当前区间中，则直接返回当前区间内小于所求数的元素个数，否则递归的对子树进行求解并相加。
• 使用STL中的merge对子序列进行合并及排序。
• 时间复杂度 O(nlogn+mlog3n)

代码（vector实现）：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;//[)
const int maxn = 1000010;
vector<int>dat[maxn*3];
int sorted[maxn], a[maxn];
void build(int k, int l, int r)
{
    if(r - l == 1) dat[k].push_back(a[l]);
    else {
        int lch = 2 * k + 1, rch = 2 * k + 2;
        build(lch, l, (l + r)/2);
        build(rch, (l + r)/2, r);
        dat[k].resize(r - l);
        merge(dat[lch].begin(), dat[lch].end(), dat[rch].begin(), dat[rch].end(),dat[k].begin());
    }
}
int query(int l, int r, int x, int k, int L, int R)
{
    if(r <= L|| l >= R) return 0;//不相交
    else if(l <= L && R <= r){//完全包含
        return lower_bound(dat[k].begin(), dat[k].end(), x) - dat[k].begin();
    }
    else {
        int lch = 2 * k + 1, rch = 2 * k + 2;
        int lsum = query(l, r, x, lch, L, (L + R)/2);
        int rsum = query(l, r, x, rch, (L + R)/2, R);
        return lsum + rsum;
    }
}
int main (void)
{
    int n, m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sorted[i] = a[i];
    }
    sort(sorted, sorted+n);
    build(0, 0, n);
    int tl, tr, k;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&tl,&tr,&k);
        int l = 0, r = n;
        while(r - l >1){
            int mid = l + (r - l)/2;
            int c = query(tl-1, tr, sorted[mid], 0, 0 ,n);
            if(c <= k - 1  ) l = mid;
            else r = mid;
        }
        printf("%d\n", sorted[l]);
    }
    return 0;
}//6000+ms

代码（数组实现）：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;//[)
const int maxn = 1000010;
int dat[20][3*maxn];
int sorted[maxn], a[maxn];
void build(int p, int l, int r)
{
    if(r - l == 1) dat[p][l] = a[l];
    else {
        build(p+1, l, (l + r)/2);
        build(p+1, (l + r)/2, r);
        merge(dat[p+1] + l, dat[p+1] + (l + r)/2, dat[p+1] + (l + r)/2, dat[p+1] + r, dat[p]+l);
    }
}
int query(int l, int r, int x, int p, int L, int R)
{
    if(r <= L|| l >= R) return 0;//不相交
    else if(l <= L && R <= r){//完全包含
        return lower_bound(dat[p]+L, dat[p]+R, x) - (dat[p]+L);
    }
    else {
        int lsum = query(l, r, x, p+1, L, (L + R)/2);
        int rsum = query(l, r, x, p+1, (L + R)/2, R);
        return lsum + rsum;
    }
}
int main (void)
{
    int n, m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sorted[i] = a[i];
    }
    sort(sorted, sorted+n);
    build(0, 0, n);
    int tl, tr, k;
    while(m--){
        scanf("%d%d%d",&tl,&tr,&k);
        int l = 0, r = n;
        while(r - l >1){
            int mid = l + (r - l)/2;
            int c = query(tl-1, tr, sorted[mid], 0, 0 ,n);
            if(c <= k - 1  ) l = mid;
            else r = mid;
        }
        printf("%d\n", sorted[l]);
    }
    return 0;
}//2000+ms

• 数组实现的要比vector快很多。
• 归并树需要二分求解，但是划分树并不需要。因为划分树是从上到下，每次都用数组记录划分到左子树的元素个数，所以可以直接求得区间第k大数，而归并树是由下到上，每次对子树进行简单的合并和排序，并没有对划分到左子树的元素进行追踪，所以需要二分搜索答案，即线段树+二分。所以在求静态区间第k大时划分树也就比归并树要快。