欧拉函数

　　在 数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。
　　例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
　　从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了 欧拉定理的证明。
　　φ函数的值
　　φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
　　若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
　　欧拉函数是 积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
　　特殊性质：当n为奇数是，φ(2n)=2φ(n), 证明于上述类似。
　　证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国 剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，
　　若
　　n= ∏p^(α（下标p）)
　　p|n
　　则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)
　　p|n p|n
　　例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24
　　与欧拉定理、 费马小定理的关系
　　对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有
　　a^φ(m)≡1(mod m)
　　即欧拉定理
　　当m是质数p时，此式则为：
　　a^(p-1)≡1(mod m)
　　即费马小定理。
　　欧拉函数的编程实现：
　　利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。
　　欧拉函数和它本身不同质因数的关系：欧拉函数ψ（Ｎ）＝Ｎ｛∏ｐ｜Ｎ｝（１－１/ｐ）。（Ｐ是数Ｎ的质因数）
　　如：
　　ψ（１０）＝１０×（１－１/２）×（１－１/５）＝４；
　　ψ（３０）＝３０×（１－１/２）×（１－１/３）×（１－１/５）＝８；
　　ψ（４９）＝４９×（１－１/７）＝４２。
　　#include <stdlib.h>
　　#define N 10000000
　　main()
　　{
　　int *phi,i,j;
　　char *prime;
　　prime=(char*)malloc((N+1)*sizeof(char));
　　prime[0]=prime[1]=0;
　　for(i=2;i<=N;i++)
　　{
　　prime[i]=1;
　　}
　　for(i=2;i*i<=N;i++)
　　{
　　if(prime[i])
　　{
　　for(j=i*i;j<=N;j+=i)
　　{
　　prime[j]=0;
　　}
　　}
　　} //这段求出了N内的所有素数
　　phi=(int*)malloc((N+1)*sizeof(int));
　　for(i=1;i<=N;i++)
　　{
　　phi[i]=i;
　　}
　　for(i=2;i<=N;i++)
　　{
　　if(prime[i])
　　{
　　for(j=i;j<=N;j+=i)
　　{
　　phi[j]=phi[j]/i*(i-1); //此处注意先/i再*（i-1)，否则范围较大时会溢出
　　}
　　}
　　} //这段求出了N内所有数的欧拉函数值
　　}
　　2-100欧拉函数表
　　n φ(n)
　　2 1
　　3 2
　　4 2
　　5 4
　　6 2
　　7 6
　　8 4
　　9 6
　　10 4
　　11 10
　　12 4
　　13 12
　　14 6
　　15 8
　　16 8
　　17 16
　　18 6
　　19 18
　　20 8
　　21 12
　　22 10
　　23 22
　　24 8
　　25 20
　　26 12
　　27 18
　　28 12
　　29 28
　　30 8
　　31 30
　　32 16
　　33 20
　　34 16
　　35 24
　　36 12
　　37 36
　　38 18
　　39 24
　　40 16
　　41 40
　　42 12
　　43 42
　　44 20
　　45 24
　　46 22
　　47 46
　　48 16
　　49 42
　　50 20
　　51 32
　　52 24
　　53 52
　　54 18
　　55 40
　　56 24
　　57 36
　　58 28
　　59 58
　　60 16
　　61 60
　　62 30
　　63 36
　　64 32
　　65 48
　　66 20
　　67 66
　　68 32
　　69 44
　　70 24
　　71 70
　　72 24
　　73 72
　　74 36
　　75 40
　　76 36
　　77 60
　　78 24
　　79 78
　　80 32
　　81 54
　　82 40
　　83 82
　　84 24
　　85 64
　　86 42
　　87 56
　　88 40
　　89 88
　　90 24
　　91 72
　　92 44
　　93 60
　　94 46
　　95 72
　　96 32
　　97 96
　　98 42
　　99 60
　　100 40