【LeetCode】51. N-Queens

51. N-Queens

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

For example,
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:

[
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

【分析】

  “N Queens”问题是一个著名的“NP”问题，首先我们分析一下游戏规则：任意两个皇后不能在同一行、同一列、同一斜线上，那么，如果我们按行序放置皇后，第1次放置第1行的皇后...，第i次放置第i行的皇后，当我们在放置第i个皇后时，它的理论位置可以是第1列到第N列，我们从第1列开始遍历，将其列位置与前面的i-1个皇后的列位置进行比较（这里不需要比较行位置，因为我们按行序放置皇后，可以确保每个皇后在不同的行），直到找到第一个“合法”的位置，我们继续放置下一行皇后，当第N行的皇后放置到合法位置后，即寻找到一个可行解，将其存储，然后，我们继续寻找第N个皇后可能的其它合法列位置，这一步通过“回溯法”完成。当第N个皇后的所有合法位置都遍历之后，我们回溯到上一步，即第N-1个皇后的放置，如果上一次它的“合法”列位置为第j列，那我们就从第j+1列开始遍历，寻找下一个“合法”列位置，找到后，再寻找第N个皇后的“合法”列位置。如是，最后，我们可以遍历所有可能的情况。

【解法及注释】

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        
        vector<int> position(n,-1);//容器构建一维数组存储皇后的行、列位置，下标表示行，对应元素值表示列,并初始化
        searchSolution(position,n,0);//搜索可行解,从第0行开始，放置第1个皇后，注意数组下标从“0”开始
        return result;
        
    }
private:
     vector<vector<string>> result;//存放可行解的容器，一个二维字符串数组
     
     void searchSolution(vector<int>& position,int n,int row)//寻找可行解
     {
         if(row==n)//row==n表示N个皇后都已经放置到合法位置，应存储可行解
         {
             vector<string> temp(n,string(n,'.'));//构建一个字符串数组存放输出解的形式，初始化为N*N的'.'矩阵
             for(int i=0;i<n;i++)
             {
                 temp[i][position[i]]='Q';//将每一行皇后的列位置替换成'Q',第i个皇后位于第i-1行，第position[i-1]列
             }
             result.push_back(temp);//存储可行性解
         }
         else
         {
             position[row]=0;//如果没有完毕，我们继续放置第row行的皇后，第row行的皇后可能的列位置为第0列至第N-1列
             while(position[row]<n)//从第0列开始遍历，直到找到“合法”的列位置
             {
                 if(checkValid(position,n,row))//判断当前列位置position[row]是否合法
                 searchSolution(position,n,row+1);//若合法，则继续放置第row+1行的皇后
                 position[row]++;//列位置增
             }
             
         }
     }
     //检验第row行放置的皇后的列位置是否合法，核心思想就是与前面的row-1行皇后的列位置进行比较
     bool checkValid(vector<int>& position,int n,int row)
     {
         for(int i=0;i<row;i++)//第row行皇后不能与前面的皇后处于同一列，同一斜线,（按行序放置已经避免处于同一行）
         {
             if(position[i]==position[row]||abs(position[i]-position[row])==abs(i-row))
             return false;
         }
         return true;
     }
    
};