错排问题 xmu 1052.False

定义: n个有序的元素应有n!个不同的排列,如若一个排列使得所有的元素不在原来的位置上,则称这个排列为错排,有的叫重排。

1 2 3 4的错排有

4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，

3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，

2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。

第一列是4分别与1，2，3互换位置,其余两个元素错排.由此生成的。

第2列是4分别与3，1，2（123的一个错排）的每一个数互换而得到的。即

4 1 2 3，3 4 2 1 ，3 1 4 2

第三列则是由另一个错排231和4换位而得到,即

4 3 1 2， 2 4 3 1 ，2 3 4 1

 

设n个数1，2，…，n错排的数目为Dn, 任取其中一数i,  数i分别与其他的n-1个数之一互换，其余

n-2个数进行错排，共得(n-1)Dn-2个错排。另一部分为数i以外的n-1个数进行错排，然后i与其中每个数互换，得(n-1)Dn-1个错排。

综合以上分析结果得递推关系

Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)， D1=0,D2=1     

 

以上是一个网站上给出的解答，但是我一直在想这是怎么解决重复问题呢？也就是说怎么才能保证这样的递推是没有重复的。现在我想通了，我们可以这样理解，对第n个数，如果是n-1个数原本符合要求，那么第n个数和前n-1个数都交换一次即可，这是一种情况。也可以是在前n-1个数中有一个数不是错排的，即对i数的排列还是在第i个位置上，这时只要把i和n交换也满足了条件，这是第二种情况。这样来理解就方便多了！         

这类型的题的应用也是很广泛的，如：N个人从一个箱子中抽取自己的名字，如果抽取到了，就是胜利者，这个时候没有胜利者的情况有多少种；还有就是N个新郎去找自己的新娘，问有M对找错的情况是多少；等等，这些都是错排问题，n个人错排的情况是多少就是上面的公式：f(n) = (n-1)(f(n-1)+f(n-2))；

 import java.io.BufferedInputStream;
 import java.math.BigInteger;
 import java.util.Scanner;

 public class Main {

     /**
      * @param args
      */
     public static void main(String[] args) {
         Scanner scan=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
         BigInteger[] ans=new BigInteger[1005];
         ans[1]=BigInteger.ZERO;
         ans[2]=BigInteger.ONE;
         ans[3]=BigInteger.valueOf(2);
         for(int i=4;i<=1000;i++){
             ans[i]=(ans[i-1].add(ans[i-2])).multiply(BigInteger.valueOf(i-1));
         }
         int t=0;
         while(true){
             int n=scan.nextInt();
             if(n==0)
                 break;
             t++;
             System.out.println("Case"+" "+t+":");
             System.out.println(ans[n]);
         }
     }

 }