UVALive 5902
UVALive 5902
Problem
给一个元素总数为N的栈（stack<int>st）。起初栈顶到栈底元素为1，2，3，......，N。下面进行M次操作，每次从栈中取出一个数X（保证合法），问在X上面有多少个元素，且每次取出X后，把X放到栈顶。
Limits
Time Limit(ms): 3000
Memory Limit(MB): No Limit
N: [1,10^5]
M: [1,10^5]
X: [1,N]
Solution
用一颗线段树Segment Tree，T(x) 表示x元素在栈中相对栈顶元素的位置，设栈顶元素位置为head，则第二个元素位置为head+1，依此类推。再用一个数组A，A[x] 表示x元素在线段树上的下标位置。起初，栈里元素为1，2，3，......，N；则A[X]为 P，P+1，......，P+N-1，其中P=1+M，P+N-1=N+M；线段树上 T(x)=x；每次操作，找到X元素在线段树上的权值T(x)=T(A[X])，表示X相对栈顶元素所在位置为T(x)，则answer=T(x) - head，表示在X上面有 T(x) - head 个元素，输出answer。下面将X元素移到栈顶。在线段树上将下标从 A[X]+1 到 N+M 的权值全部减一；再将A[X]修改为head -1，然后head减一。循环进行如上M次操作。
More
为了更清楚阐述Solution，取如下例子并配图解释。
设N=8，M=5，M[x]={3，2，6，6，7}；
起初，栈里元素X(x)={1，2，3，4，5，6，7，8}；
申明一颗线段树，下标从1到N+M，即从1到13；线段树上T(x)=x；
开一个数组，A[x]={6，7，8，9，10，11，12，13}；1所在线段树上的下标为6，8在13；
同时，head表示栈顶元素所在的位置，则head=6；
如下图所示：
第一步
M[1]=3，表示需要将X=3取出。T(x)=T(A[X])=T(8)=8；answer=T(x)-head=8-6=2；表示在X上面有2个元素（6和7）；下面将3移到栈顶，把线段树上下标从 A[X]+1 到 N+M 的权值全部减一，即从 9 到 13；再A[X]=head-1=5，head=head-1=5；表示3到了5这个位置，head也到了5这个位置。
如下图所示：
容易看出，1，2相对于head位置是6，7；而4－8相对于head位置是8－12；恰好在线段树上构成了5，6，7，......，11，12的相对位置。到了这，相信为什么要 “将线段树上下标从 A[x]+1 到 N+M 的权值全部减一”，就比较好理解了。
第二步
M[2]=2，X=2，T(x)=T(A[X])=T(7)=7；answer=T(x)-head=7-5=2；A[X]+1=8，N+M=13，从8到13权值减一；再A[X]=head-1=4，head=head-1=4；
如下图所示：
第三步
M[3]=6，X=6，T(x)=T(A[X])=T(11)=9；answer=T(x)-head=9-4=5；A[X]+1=12，N+M=13，从12到13权值减一；再A[X]=head-1=3，head=head-1=3；
如下图所示：
第四步
M[4]=6，X=6，T(x)=T(A[X])=T(3)=3；answer=T(x)-head=3-3=0；A[X]+1=4，N+M=13，从4到13权值减一；再A[X]=head-1=2，head=head-1=2；
第五步
M[5]=7，X=7，T(x)=T(A[X])=T(12)=8；answer=T(x)-head=8-2=6；A[X]+1=13，N+M=13，从13到13权值减一；再A[X]=head-1=1，head=head-1=1；
如下图所示：
演示结束。
容易发现以下几个性质。
一。线段树不方便处理下标为负数的情况，因此，一开始就将N个数“往后移位”。
二。T(x)上的值单调递增且不重复，是一个排列，完好地表示每个元素相对于head的位置。
三。A[x]与x的值高度一致，表示每一个元素所在线段树上的位置，保证了“将线段树上从from到to的位置减一”操作的正确性。
三。每次将线段树上从from到to的位置减一时，都只需令from=A[X]+1，to=N+M（最后的位置），而from之前的数恰好不需要处理。
四。每一步操作时间复杂度都为log级别，保证不超时。
Complexity
Time Complexity: O( (N+M)*log(N+M) )
Memory Complexity: O(4*(N+M) )
Source
UVALive 5902
Code
UVALive 5902 From My Github