JZOJ 4466【GDOI2016模拟4.22】无界单词

Description

你在坐飞机的时候总是喜欢随便写点文字以打发时间。
对于一个单词 S ，如果存在一个长度 L ，满足 0<L<length(S) ，并且使得 S 长度为 L 的前缀与 S 长度为 L 的后缀相同，则称 S 是有界的。比如“ aabaa ”和“ ababab ”就都是有界的字符串。如果一个单词不存在这样的 L ，则称之为无界单词。
现在考虑所有仅由字母 a 和 b 组成的长度为 N 的字符串，你想知道：
1. 一共有多少个无界单词？
2. 这些无界单词中，按字典序排列第 K 小的单词是哪一个？

Analysis

这题很考思维啊。其实并不需要多么高大上的算法，主要是看脑洞打不打得开吧。
因为题解写得非常好，这里就不详细讲了。
设 f[i] 表示长度为 i 的无界单词个数。但是直接求这个不好求，所以转化成总数-有界单词个数。
易得 f[i]=2i−∑⌊i/2⌋j=1f[j]∗2i−2j 。
画个图就好了，用无界单词递推可以避免重复。
第一问就解决了。
然后重点是第二问。
第K大的字符串一位一位确定。
首先枚举 len ，看看 ans[len] 能否放 a ，否则就放 b 。
所以问题转为求前1~len位确定，len+1~n不确定的无界单词个数。
这个目标和求第一问的目标很像，所以DP方程改一下。

如图， len 的范围分四种情况，分类讨论一下就好了。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int N=70;
int n,ans[N];
ll _2[N],f[N];
bool pd(int l,int r)
{
    fo(i,l,r)
        if(ans[i]!=ans[i-l+1]) return 0;
    return 1;
}
bool pd1(int n)
{
    fo(i,1,n/2)
    {
        bool p=1;
        fo(j,1,i)
            if(ans[j]!=ans[n-i+j]) {p=0;break;}
        if(p) return 0;
    }
    return 1;
}
ll dp(int len)
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    fo(i,1,n)
    {
        if(i<=len)
        {
            if(pd1(i)) f[i]=1;
            continue;
        }
        f[i]=_2[i-len];
        fo(j,1,i/2)
        {
            if(len<=j) f[i]-=f[j]*_2[i-2*j];
            else
            if(len>j && len<=i-j) f[i]-=f[j]*_2[i-2*j-(len-j)];
            else f[i]-=f[j]*pd(i-j+1,len);
        }
    }
    return f[n];
}
int main()
{
    freopen("word.in","r",stdin);
    freopen("word.out","w",stdout);
    _2[0]=1;
    fo(i,1,64) _2[i]=_2[i-1]*2;
    int T;
    ll k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %lld",&n,&k);
        printf("%lld\n",dp(0));
        fo(len,1,n)
        {
            ans[len]=0;
            ll t=dp(len);
            if(k>t) ans[len]=1,k-=t;
        }
        fo(i,1,n) printf("%c",ans[i]+'a');
        printf("\n");
    }
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}