Caffe源码阅读（2） 卷积层

一开始笔者先看了卷积层的梯度传导公式，参考了这两篇：

1. http://ufldl.stanford.edu/tutorial/supervised/ConvolutionalNeuralNetwork/
2. http://cogprints.org/5869/1/cnn_tutorial.pdf

卷积层的参数的梯度可以这样来求：

∇W(l)kJ(W,b;x,y)∇b(l)kJ(W,b;x,y)=∑i=1m(a(l)i)∗rot90(δ(l+1)k,2),=∑a,b(δ(l+1)k)a,b. ∇Wk(l)J(W,b;x,y)=∑i=1m(ai(l))∗rot90(δk(l+1),2),∇bk(l)J(W,b;x,y)=∑a,b(δk(l+1))a,b.

看上去比全连接层复杂多了，但其实， 他们本质上基本是一样的，依然可以套回全连接层的参数求导公式：

∇W(l)J(W,b;x,y)∇b(l)J(W,b;x,y)=δ(l+1)(a(l))T,=δ(l+1). ∇W(l)J(W,b;x,y)=δ(l+1)(a(l))T,∇b(l)J(W,b;x,y)=δ(l+1).

只需要额外增加一步im2col。这一步的意思是将首先将整张图片按照卷积的窗口大小切好（按照stride来切，可以有重叠），然后各自拉成一列。
为啥要怎样做，因为对于这个小窗口内拉成一列的神经元来说来说，它们跟下一层神经元就是全连接了，所以这个小窗口里面的梯度计算就可以按照全连接来计算就可以了。

如果对照着Caffe的卷积层源码来看，就很清晰了。
forward的代码如下，假设没有分group，这段代码的意思是对于一个大小为num_的batch里面的任意一张图片，首先通过im2col展开成多个列向量，之后直接就用wx+b的方式就能够算到输出了。

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void ConvolutionLayer<Dtype>::Forward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& bottom, vector<Blob<Dtype>*>* top) { for (int i = 0; i < bottom.size(); ++i) { const Dtype* bottom_data = bottom[i]->cpu_data(); Dtype* top_data = (*top)[i]->mutable_cpu_data(); Dtype* col_data = col_buffer_.mutable_cpu_data(); const Dtype* weight = this->blobs_[0]->cpu_data(); int weight_offset = M_ * K_; // number of filter parameters in a group int col_offset = K_ * N_; // number of values in an input region / column int top_offset = M_ * N_; // number of values in an output region / column for (int n = 0; n < num_; ++n) { // im2col transformation: unroll input regions for filtering // into column matrix for multplication. im2col_cpu(bottom_data + bottom[i]->offset(n), channels_, height_, width_, kernel_h_, kernel_w_, pad_h_, pad_w_, stride_h_, stride_w_, col_data); // Take inner products for groups. for (int g = 0; g < group_; ++g) { caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, M_, N_, K_, (Dtype)1., weight + weight_offset * g, col_data + col_offset * g, (Dtype)0., top_data + (*top)[i]->offset(n) + top_offset * g); } // Add bias. if (bias_term_) { caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, num_output_, N_, 1, (Dtype)1., this->blobs_[1]->cpu_data(), bias_multiplier_.cpu_data(), (Dtype)1., top_data + (*top)[i]->offset(n)); } } } }

所以卷积看成是多个局部的全连接。笔者记得在某个地方看到过，实现卷积的方式有两个，一个是像caffe里面的im2col，另外一个是傅里叶变换。而后者的速度比较快，那么看来facebook给出的加速代码应该是用了傅里叶变换咯：)
言归正传，如果能够理解到im2col的作用，那么backward的代码也很容易理解了。
对于bias，直接就是delta(可能还要乘以bias_multiplier_，这个是Caffe自己的功能，默认不开启，即bias_multiplier_=1)

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// Bias gradient, if necessary. if (bias_term_ && this->param_propagate_down_[1]) { top_diff = top[i]->cpu_diff(); for (int n = 0; n < num_; ++n) { caffe_cpu_gemv<Dtype>(CblasNoTrans, num_output_, N_, 1., top_diff + top[0]->offset(n), bias_multiplier_.cpu_data(), 1., bias_diff); } }

对于weights，batch中的每张图片，首先还是用im2col展开，之后用矩阵乘法表示累加：

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// Since we saved memory in the forward pass by not storing all col // data, we will need to recompute them. im2col_cpu(bottom_data + (*bottom)[i]->offset(n), channels_, height_, width_, kernel_h_, kernel_w_, pad_h_, pad_w_, stride_h_, stride_w_, col_data); // gradient w.r.t. weight. Note that we will accumulate diffs. if (this->param_propagate_down_[0]) { for (int g = 0; g < group_; ++g) { caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasTrans, M_, K_, N_, (Dtype)1., top_diff + top[i]->offset(n) + top_offset * g, col_data + col_offset * g, (Dtype)1., weight_diff + weight_offset * g); } }

最后是计算需要传回前一层的delta，也是先看成多个独立的全连接，但是最后需要还原成带有空间结构的形状，需要调用逆过程col2im，其实也是一个累加的过程，让每个空间位置的delta累加起来。

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// gradient w.r.t. bottom data, if necessary. if (propagate_down[i]) { if (weight == NULL) { weight = this->blobs_[0]->cpu_data(); } for (int g = 0; g < group_; ++g) { caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasTrans, CblasNoTrans, K_, N_, M_, (Dtype)1., weight + weight_offset * g, top_diff + top[i]->offset(n) + top_offset * g, (Dtype)0., col_diff + col_offset * g); } // col2im back to the data col2im_cpu(col_diff, channels_, height_, width_, kernel_h_, kernel_w_, pad_h_, pad_w_, stride_h_, stride_w_, bottom_diff + (*bottom)[i]->offset(n)); }

最后附带一提，在“关于卷积”那篇也提到了卷积运算是先要将kernel旋转180度之后再扫过去的。可以看出Caffe源码是没有这一步的，所以最后学出来的“kernel”实际上是应该还要旋转回来才是正确的卷积核。