斐波那契查找详解

    斐波那契查找的前提是待查找的查找表必须顺序存储并且有序。

    相对于折半查找，一般将待比较的key值与第mid=（low+high）/2位置的元素比较，比较结果分三种情况

     1）相等,mid位置的元素即为所求

     2）>     ,low=mid+1;

     3)  <     ,high=mid-1;

   斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，及n=Fk-1;

 开始将k值与第F(k-1）位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果也分为三种

 1）相等，mid位置的元素即为所求

 2）>   ,low=mid+1,k-=2;

说明:low=mid+1说明待查找的元素在[mid+1,hign]范围内，k-=2 说明范围[mid+1,high]内的元素个数为n-（F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找

 3)<    ,high=mid-1,k-=1;

说明:low=mid+1说明待查找的元素在[low,mid-1]范围内，k-=1 说明范围[low,mid-1]内的元素个数为F(k-1)-1

个，所以可以递归 的应用斐波那契查找

斐波那契查找的算法如下:

// 斐波那契查找.cpp 

#include "stdafx.h"
#include <memory>
#include  <iostream>
using namespace std;

const int max_size=20;//斐波那契数组的长度

/*构造一个斐波那契数组*/ 
void Fibonacci(int * F)
{
	F[0]=0;
	F[1]=1;
	for(int i=2;i<max_size;++i)
		F[i]=F[i-1]+F[i-2];
}

/*定义斐波那契查找法*/  
int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key)  //a为要查找的数组,n为要查找的数组长度,key为要查找的关键字
{
  int low=0;
  int high=n-1;
  
  int F[max_size];
  Fibonacci(F);//构造一个斐波那契数组F 

  int k=0;
  while(n>F[k]-1)//计算n位于斐波那契数列的位置
	  ++k;

  int  * temp;//将数组a扩展到F[k]-1的长度
  temp=new int [F[k]-1];
  memcpy(temp,a,n*sizeof(int));

  for(int i=n;i<F[k]-1;++i)
     temp[i]=a[n-1];
  
  while(low<=high)
  {
    int mid=low+F[k-1]-1;
	if(key<temp[mid])
	{
      high=mid-1;
	  k-=1;
	}
	else if(key>temp[mid])
	{
     low=mid+1;
	 k-=2;
	}
	else
	{
       if(mid<n)
		   return mid; //若相等则说明mid即为查找到的位置
	   else
		   return n-1; //若mid>=n则说明是扩展的数值,返回n-1
	}
  }  
  delete [] temp;
  return -1;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int a[] = {0,16,24,35,47,59,62,73,88,99};
	int key=100;
	int index=Fibonacci_Search(a,sizeof(a)/sizeof(int),key);
	cout<<key<<" is located at:"<<index;
	system("PAUSE");
	return 0;
}

斐波那契查找的核心是：
1）当key=a[mid]时，查找成功；
2）当key<a[mid]时，新的查找范围是第low个到第mid-1个，此时范围个数为F[k-1] - 1个，即数组左边的长度，所以要在[low, F[k - 1] - 1]范围内查找；
3）当key>a[mid]时，新的查找范围是第mid+1个到第high个，此时范围个数为F[k-2] - 1个，即数组右边的长度，所以要在[F[k - 2] - 1]范围内查找。

 

   关于斐波那契查找， 如果要查找的记录在右侧，则左侧的数据都不用再判断了，不断反复进行下去，对处于当众的大部分数据，其工作效率要高一些。所以尽管斐波那契查找的时间复杂度也为O(logn)，但就平均性能来说，斐波那契查找要优于折半查找。可惜如果是最坏的情况，比如这里key=1，那么始终都处于左侧在查找，则查找效率低于折半查找。

   还有关键一点，折半查找是进行加法与除法运算的（mid=(low+high)/2），插值查找则进行更复杂的四则运算（mid = low + (high - low) * ((key - a[low]) / (a[high] - a[low]))），而斐波那契查找只进行最简单的加减法运算（mid = low + F[k-1] - 1），在海量数据的查找过程中，这种细微的差别可能会影响最终的效率。

参考文献:严蔚敏数据结构c语言版 221页 及芦苇csdn博客  http://blog.csdn.net/zpluw/article/details/7757331