《编程之美》——求数组的子数组的最大值

问题：
求数组的子数组的最大值

分析与解法：
【解法一】
穷举法，把每个子数组的和求出来并比较，输出最大值。时间复杂度为O(n^2)。

代码：

int maxSum(int *arr, int n)
{
    int i, j;
    int sum, max = INT_MIN;
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        sum = 0;
        for(j = i; j < n; j++)
            sum += arr[j];
        if(max < sum)
            max = sum;
    }
    return max;
} 

【解法二】
将所给的数组分为长度相等的两部分，分别求出两个数组各自的最大子数组的和，那么原数组的最大子数组的和有三种情况：

1. [0, n-1]的最大子数组的和与[0, n/2-1]的最大子数组的和相同；
2. [0, n-1]的最大子数组的和与[n/2, n]的最大子数组的和相同；
3. [0, n-1]的最大子数组横跨arr[n/2]与arr[n/2-1]。

第1、2两种情况是规模减半的相同子问题，可以通过递归求解，时间复杂度为O(nlogn)。
第3种情况，只要计算出以arr[n/2-1]为结尾的一段数组最大和s1=Sum1[i…n/2-1]和arr[n/2]为开头一段数组最大和s2=Sum2[n/2…j]，最后s=s1+s2。只需要遍历一次数组，时间复杂度为O(n)。
故总的时间复杂度为O(nlogn)。

【解法三】
使用动态规划的方法，考虑数组第一个元素arr[0]，以及和最大的子数组[i, j]之间的关系，有以下三种情况：

1. 0 = i = j，arr[0]本身构成和最大的子数组；
2. 0 = i < j，和最大的子数组从arr[0]开始；
3. 0 < i < j，和最大的子数组不包括arr[0]。

假设已经知道[1, n-1]中子数组和的最大值是all[1]，包含arr[1]的子数组和的最大值是start[1]，那么[0, n-1]的子数组和的最大值是max{arr[0], arr[0]+strat[1], all[1]}。时间复杂度为O(n)。

代码：

int max(int x, int y)
{
    return x > y ? x : y;
} 

int maxSum(int *arr, int n)
{
    int start[n - 1] = arr[n - 1];
    int all[n - 1] = arr[n - 1];
    for(int i = n - 2; i >= 0; i--)//必须从后往前遍历数组
    {
        start[i] = max(arr[i], arr[i] + start[i + 1]);
        all[i] = max(start[i], all[i + 1]); 
    }
    return all[0];
}

空间上对其进行优化，可以使用两个变量代替使用两个数组。

int max(int x, int y)
{
    return x > y ? x : y;
} 

int maxSum(int *arr, int n)
{
    int start = arr[n - 1];
    int all = arr[n - 1];
    for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
    {
        start = max(arr[i], arr[i] + start);
        all = max(start, all);  
    }
    return all;
}

【解法四】
因为当一个数加上一个正数时，和会增加；加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，否则这个负数将会减少接下来的和。所以解法可以是如果当前和为负数，那么就放弃前面的累加和，从数组中的下一个数再开始计数，时间复杂度为O(n)。

int maxSum(int *arr, int n)
{
    int cSum = 0;//当前的和
    int mSum = 0;//最大的和
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        if(cSum < 0)
            cSum = 0;
        cSum += arr[i];
        if(cSum > mSum)
            mSum = cSum;
    }
    if(mSum == 0)//若全为负数，则返回最大的负数
    {
        mSum = arr[0];
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            if(mSum < arr[i])
                mSum = arr[i];
        }
    }
    return mSum;
} 

扩展问题：
1.若数组首尾相连，如何求数组的子数组的最大值？
可以把问题分为两种情况：
(1)没有跨过arr[n-1]到arr[0]（原问题）；
(2)跨过arr[n-1]到arr[0]。
对于第(2)种情况，只要找到以arr[0]开头的和最大的子数组[0, i]和以arr[n-1]结尾的和最大的子数组[j, n-1]。若i <= j，则直接将和相加；若j < i，则子数组就是[0, n-1]。
总的时间复杂度仍是O(n)。