POJ 1458/HDU 1159 最长公共子序列

问题描述
我们称序列 Z = < z1, z2, ..., zk >是序列X = < x1, x2, ..., xm >的子序列当且仅当存在严格上
升的序列< i1, i2, ..., ik >，使得对j = 1, 2, ... ,k, 有xij = zj。比如Z = < a, b, f, c > 是X = < a, b,
c, f, b, c >的子序列。
现在给出两个序列X 和Y，你的任务是找到X 和Y 的最大公共子序列，也就是说要找
到一个最长的序列Z，使得Z 既是X 的子序列也是Y 的子序列。
输入数据
输入包括多组测试数据。每组数据包括一行，给出两个长度不超过200 的字符串，表示
两个序列。两个字符串之间由若干个空格隔开。
输出要求
对每组输入数据，输出一行，给出两个序列的最大公共子序列的长度。
输入样例
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
输出样例
4
2
0
解题思路
如果我们用字符数组 s1、s2 存放两个字符串，用s1[i]表示s1 中的第i 个字符，s2[j]表
示s2 中的第j 个字符（字符编号从1 开始，不存在“第0 个字符”），用s1i 表示s1 的前i
个字符所构成的子串， s2j 表示s2 的前j 个字符构成的子串，MaxLen(i, j)表示s1i 和s2j 的
最长公共子序列的长度，那么递推关系如下：

if( i ==0 || j == 0 )

 {

MaxLen(i, j) = 0 //两个空串的最长公共子序列长度当然是0}

else

 if( s1[i] == s2[j] )

    MaxLen(i, j) = MaxLen(i-1, j-1 ) + 1;  else {     MaxLen(i, j) = Max( MaxLen(i, j-1), MaxLen(i-1, j));     } MaxLen(i, j) = Max( MaxLen(i, j-1), MaxLen(i-1, j)) 这个递推关系需要证明一下。我们用反证法来证明，MaxLen(i, j)不可能比MaxLen(i, j-1)和MaxLen(i-1, j)都大。先假设MaxLen(i,j)比MaxLen(i-1, j)大。如果是这样的话，那么一定是s1[i]起作用了，即s1[i]是s1i 和s2j 的最长公共子序列里的最后一个字符。同样，如果MaxLen(i, j)比MaxLen(i, j-1)大，也能够推导出，s2[j]是s1i 和s2j 的最长公共子序列里的最后一个字符。即，如果MaxLen(i, j)比MaxLen(i, j-1)和MaxLen(i-1, j)都大，那么，s1[i]应该和s2[j]相等。但这是和应用本递推关系的前提----- s1[i]≠s2[j]相矛盾的。因此，MaxLen(i, j)不可能比MaxLen(i, j-1)和MaxLen(i-1, j)都大。MaxLen(i, j)当然不会比MaxLen(i, j-1)和MaxLen(i-1, j)中的任何一个小，因此，MaxLen(i, j) = Max( MaxLen(i, j-1), MaxLen(i-1, j)) 必然成立。显然本题目的“状态”就是s1 中的位置i 和s2 中的位置j。“值”就是MaxLen(i, j)。状态的数目是s1 长度和s2 长度的乘积。可以用一个二维数组来存储各个状态下的“值”。本问题的两个子问题，和原问题形式完全一致的，只不过规模小了一点。参考程序：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX_LEN 1000
char sz1[MAX_LEN];
char sz2[MAX_LEN];
int aMaxLen[MAX_LEN][MAX_LEN]; /*MaxLen(i, j)表示s1i 和s2j 的最长公共子序列的长度，那么递推关系如下*/
int main()
{
	while(scanf("%s%s",sz1+1,sz2+1)>0)
	{
		int nLength1=strlen(sz1+1);
		int nLength2=strlen(sz2+1);
		int nTmp;
		int i,j;
		for(i=0;i<=nLength1;i++)
		   aMaxLen[i][0]=0;
		for(j=0;j<=nLength1;j++)
		   aMaxLen[0][j]=0;
		for(i=1;i<=nLength1;i++)
		{
			for(j=1;j<=nLength2;j++)
			{
				if(sz1[i]==sz2[j])
					aMaxLen[i][j]=aMaxLen[i-1][j-1]+1;
				else
				{
					if(aMaxLen[i][j-1]>aMaxLen[i-1][j])
						aMaxLen[i][j]=aMaxLen[i][j-1];
					else
						aMaxLen[i][j]=aMaxLen[i-1][j];
				}
			}
		}
		printf("%d\n",aMaxLen[nLength1][nLength2]);
	}
	return 0;
}