hdu 3037 Saving Beans（组合数取模）
Saving Beans
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Now they turn to you for help, you should give them the answer. The result may be extremely huge; you should output the result modulo p, because squirrels can’t recognize large numbers.
Then followed T lines, each line contains three integers n, m, p, means that squirrels will save no more than m same beans in n different trees, 1 <= n, m <= 1000000000, 1 < p < 100000 and p is guaranteed to be a prime.
2 1 2 5 2 1 5
3 3HintHint For sample 1, squirrels will put no more than 2 beans in one tree. Since trees are different, we can label them as 1, 2 … and so on. The 3 ways are: put no beans, put 1 bean in tree 1 and put 2 beans in tree 1. For sample 2, the 3 ways are: put no beans, put 1 bean in tree 1 and put 1 bean in tree 2.
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题解：组合数取模（lucas定理）
题目大意：从n棵不同的树上取不超过M颗豆子（豆子无差异），有多少种取法。
题目可以转换成 x1+x2+……+xn=m 有多少组解，m在题中可以取0~m。
对于 x1+x2+……+xn=m，需要利用到插板法。
插板法：插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
那么这相当于是m 个元素，插入n个板子，但是所分成的每组元素可以剩余，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先插入1个元素，则问题就等价于把n+m个元素插入n个板子，此时的答案就是C（n+m-1,n-1) =C(n+m-1,m) （C(N,M)=C(N,N-M)） 。
则题目解的个数可以转换成求 sum=C（n+m-1，0）+C（n+m-1，1）+C（n+m-1，2）……+C（n+m-1，m）利用公式C（n，r）=C（n-1，r）+C（n-1，r-1） == > sum=C（n+m，m）。
sum=C（n+m-1，0）(m=0)+C（n+m-1，1）(m=1)+C（n+m-1，2）(m=2)……+C（n+m-1，m）(m=m)
=C(n-1,0)+C(n,1)+C(n+1,2)....+C(n-m-1,m)
因为C(n-1,0)=C(n,0)=1
所以式子可以利用C（n，r）=C（n-1，r）+C（n-1，r-1） ，进行化简最终得到C（n+m，m）
现在就是要求C（n+m，m）%p。
lucas定理：
A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) modp同余
即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)
但是lucas定理只有在A,B<=10^18,P为质数，p<=10^5时才可以使用（如果p<=10^9,但是n,m较小的话，貌似也可以用lucas定理，但是没法预处理阶乘，只能单独计算组合数，总之具体情况具体分析）
这道题的话可以先预处理出阶乘，根据公式c(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，因为是模意义下所以可以转化为n!*inv(m!(n-m)!) mod p,因为p是质数，根据费马小定理，可得 inv(m!(n-m)!)=(m!(n-m)!)^p-2,可用快速幂求解。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll k[500003],n,m,p;
int t;
void calc(ll p)
{
k[0]=1;
for (ll i=1;i<=p;i++)
k[i]=(ll)k[i-1]*i%p;
}
ll quick(ll num,ll x)
{
ll ans=1; ll base=(ll)num%p;
while(x)
{
if (x&1)
ans=ans*base%p;
x>>=1;
base=base*base%p;
}
return ans%p;
}
ll c(ll x,ll y)
{
if (y>x) return 0;
return (ll)k[x]*quick(k[y]*k[x-y],p-2)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{
if (m==0) return 1;
return (ll)c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("my.out","w",stdout);
scanf("%d",&t);
for (int i=1;i<=t;i++)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);
calc(p);
printf("%I64d\n",lucas(n+m,m,p)%p);
}
}