算法分析

渐近时间复杂度的计算

算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，下面我们就这个问题给各位考生进行分析。
首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 
当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。
常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。
下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。
1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn 
请判断下列关系是否成立：
（1） f(n)=O(g(n)) 
（2） g(n)=O(f(n)) 
（3） h(n)=O(n^1.5)
（4） h(n)=O(nlgn)
这 里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的 两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常 数。这么一来，就好计算了吧。

◆ (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 
◆ （2）成立。与上同理。
◆ （3）成立。与上同理。
◆ （4）不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。

2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。
(1) i=1; k=0 
while(i<n)
{ k=k+10*i;i++;
} 
解答：T(n)=n-1， T(n)=O(n)， 这个函数是按线性阶递增的。
(2) x=n; // n>1 
while (x>=(y+1)*(y+1))
y++;
解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)， 最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。
(3) x=91; y=100; 
while(y>0)
if(x>100)
{x=x-10;y--;}
else x++;
解答： T(n)=O(1)， 这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。

一个经验规则

有如下复杂度关系

c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2^n , 3^n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。