2D射影平面
平面上的一点可以用IR2中的一对坐标(x,y)来表示, 因此, 通常IR2等同于一张平面. 把IR2看作一个矢量空间时, 坐标对(x,y)是矢量, 也就是说点等同于矢量. 在不加说明时, 几何实体用列矢量表示. 按此约定, 平面上的点表示为列矢量(x,y)T. 我们记作x=(x,y)T.
直线的齐次表示. 平面上的一条直线可用形如ax+by+c=0的方程表示, a, b和c的不同值给出不同的直线. 因此, 一条直线可以用矢量(a,b,c)T表示. 直线与矢量(a,b,c)T不是一一对应的. 因为, 对任何非零常数k, 直线ax+by+c=0与直线(ka)x+(kb)y+(kc)=0相同. 因此, 对任何非零k, 矢量(a,b,c)T与k(a,b,c)T表示同一条直线. 我们视这两个只相差一个全局缩放因子的矢量是等价的. 这种等价关系下的矢量等价类被称为齐次矢量. 任何具体矢量(a,b,c)T是所属等价类的一个代表. 在IR3-(0, 0, 0)T中的矢量等价类的集合组成射影空间IP2. 记号: -(0, 0, 0)T表示矢量(0, 0, 0)T不与任何直线对应, 因而被排除在外.
点的齐次表示. 点x=(x,y)T在直线I=(a,b,c)T上的充要条件是ax+by+c=0. 并可用矢量内积形式把它表示为(x,y,1)(a,b,c)T=0, 即把"1"作为增加的最后一个坐标使IR2中的点(x,y)T表示为三维矢量. 注意对任何非零k, 等式k(x,y,1)(a,b,c)T=0同样成立. 我们把由非零k的不同值所构成的矢量集(kx,ky,k)T看作是IR2中点(x,y)T的一种表示. 与直线一样, 点也可以用齐次矢量表示, 一个点的任何齐次矢量的表示形式为x=(x1, x2, x3)T,并表示IR2的点x=(x1/ x3, x2/ x3)T. 于是,点作为齐次矢量同样也是射影空间IP2的元素.
结论1: 点x在直线I上的充要条件是xTI=0.
结论2: 两直线I和I'的交点是x=I×I'.
结论3: 过两点x和x'的直线是I=x×x'.
一般的, 具有齐次坐标(x,y,0)T的点不与中任何有限点对应. 这一观察与通常平行线交于无穷远的概念相吻合。
当x3≠0时, 齐次矢量x=(x1, x2, x3)T对应于中的有限点. 我们可以把最后坐标为x3=0的点加入IR2. 所扩展的空间是所有齐次三维矢量的集合, 称为射影空间IP2. 最后坐标为的点被称为理想点，或者无穷远点. 所有理想点的集合可以写成(x1, x2, 0)T, 并由比率x1: x2指定一个具体的点. 注意该集合在一条直线上, 称为无穷远线, 用矢量表示I∞=(0,0,1)T. 我们可以验证(x1, x2, 0)(0,0,1)T=0.
摄影平面. 一种有益的方法是把IP2看作IR3中的一种射线的集合. 该集合的所有矢量k(x1, x2, x3)T当k变化时形成过原点的射线. 这样的一条射线可以看作是IP2中的一个点. 在此模型中, IP2中的直线是IR3中过原点的平面. 可以验证两相异的射线共处于一张平面上, 而任何两张相异平面相交于一条射线. 这类似于IP2中两个相异的点唯一确定一条直线, 而两条相异的直线总相交于一点.
注意到点和线的作用是如何互换的. 特别的, 直线和点的基本结合方程式xTI=0是对称的, 即ITx=0也成立. 于是我们得到对偶原理: 二维射影几何中的任何定理都有一个对应的对偶定理, 它可以通过互换原定理中的点和线的作用而推导出. 例如结论2和结论3.