【BZOJ 3233】 [Ahoi2013]找硬币

3233: [Ahoi2013]找硬币

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 64 MB
Submit: 486 Solved: 198
[Submit][Status][Discuss]
Description

小蛇是金融部部长。最近她决定制造一系列新的货币。假设她要制造的货币的面值为x1,x2,x3… 那么x1必须为1，xb必须为xa的正整数倍（b>a）。例如 1，5，125，250就是一组合法的硬币序列，而1，5，100，125就不是。不知从哪一天开始，可爱的蛇爱上了一种萌物——兔纸！从此，小蛇便走上了遇上兔纸娃娃就买的不归路。某天，小蛇看到了N只可爱的兔纸，假设这N 只兔纸的价钱分别是a1,a2…aN。现在小蛇想知道，在哪一组合法的硬币序列下，买这N只兔纸所需要的硬币数最少。买兔纸时不能找零。

Input

第一行，一个整数N，表示兔纸的个数
第二行，N个用空格隔开的整数，分别为N只兔纸的价钱

Output

一行，一个整数，表示最少付的钱币数。

Sample Input

2

25 102

Sample Output

4

样例解释：共有两只兔纸，价钱分别为25和102。现在小蛇构造1，25，100这样一组硬币序列，那么付第一只兔纸只需要一个面值为25的硬币，第二只兔纸需要一个面值为100的硬币和两个面值为1的硬币，总共两只兔纸需要付4个硬币。这也是所有方案中最少所需要付的硬币数。

1<=N<=50, 1<=ai<=100,000

dp好题。

f[i] 表示硬币的最大面值是 i 需要的最少硬币数，转移是

f[i]=min(f[j]−∑k=1n⌊a[k]i⌋∗(ij−1))（j是i的因数）

意思是原来价值为 i 需要用 ij 个 j 面值的硬币，现在只要用 1 个 i 面值的硬币，省掉了 ij−1 个。

直接这样做是 O(MM‾‾√∗N) 的， M 是 ai 中的最大值。

其实我们可以发现 i 的因数中只有 ip(p是i的质因数) 才可能取到最优，因为 p 不是质因数的话， ip 到 i 之间还可以放入其他的数字，显然不如 p 为质数时优。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int cnt=0,v[100005],n,a[55],f[100005],p[100005];
void Prepare()
{
    for (int i=2;i<=100000;i++)
        if (!v[i])
        {
            p[++cnt]=i;
            for (int j=i*2;j<=100000;j+=i)
                v[j]=1;
        }
}
int main()
{
    Prepare();
    scanf("%d",&n);
    int m=0,tot=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]),tot+=a[i],m=max(a[i],m);
    f[1]=tot;
    int ans=tot;
    for (int i=2;i<=m;i++)
    {
        int x=i;
        f[i]=tot+10;
        for (int j=1;j<=cnt;j++)
            if (x%p[j]==0)
            {
                int s=i/p[j];
                int now=f[s];
                for (int k=1;k<=n;k++)
                    now-=(a[k]/i)*(i/s-1);
                f[i]=min(f[i],now);
                while (x%p[j]==0)
                    x/=p[j];
                if (x==1) break;
            }
        ans=min(ans,f[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}