【数学】扩展欧几里得算法

欧几里得算法：

辗转相除计算两个数的最大公约数，求 gcd(a,b) 。

证明：

设 a=b∗p+q ，则 gcd(b,q)|b ， gcd(b,q)|a ，故 gcd(b,q)|gcd(a,b) 。
同样 q=a−b∗p ，则 gcd(a,b)|q ，故 gcd(a,b)|gcd(b,q) .
可得 gcd(a,b)=gcd(b,a ,最终得到 gcd(a,b)=gcd(c,0)=c

代码：

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

扩展欧几里得算法

存在整数对 (x,y) 使得 ax+by=gcd(a,b)

证明：

设 a>b
当 b=0 时， a∗1+b∗0=a=gcd(a,b) ，此时 x=1,y=0
当 b!=0 时，设
a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)
b∗x2+a%b∗y2=gcd(b,a%b)
由于 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ，所以有 a∗x1+b∗y1=b∗x2+a%b∗y2
将 a%b=a−(a/b)∗b 代入，
得到 a∗x1+b∗y1=a∗y2+b∗x2−(a/b)∗b∗y2
即 x1=y2,y1=x2−(a/b)∗y2
因此可以递归的定义 exgcd ，同样 b=0 时递归结束。返回最大公约数。

代码：

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int d = a;
    if(b != 0) {
        d  = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a/b) * x;
    }else {
        x = 1, y = 0;
    }
    return d;
}

应用：

求解不定方程：

若 c%gcd(a,b)=0 ，则存在整数对 (x,y)， 使得 a∗x+b∗y=c

通过上面的方法可得到一组特解 x0 ， y0 使得 a∗x+b∗y=gcd(a,b) ，那么如何在无穷多个解中求出 x，y 最小正整数解。

证明：

首先 a∗x0+a∗k∗b/gcd(a,b)+b∗y0−a∗k∗b/gcd(a,b)=gcd(a,b)
即 a∗(x0+k∗b/gcd(a,b))+b∗(y0−k∗a/gcd(a,b))=gcd(a,b)
通解为 x=x0+k∗b/gcd(a,b)，y=y0−k∗a/gcd(a,b) ，其中 k=...−2,−1,0,1,2...
在所有解中最小的正整数为 (x0+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b)) ，
所以对于方程 a∗x+b∗y=c ，最小正整数解（以x为例）为 (x0∗c/gcd(a,b)+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b))
注意：若b为负数，需将b转换为正数。

代码:

int cal(int a, int b, int c)
{
    int x, y;
    int gcd = extgcd(a, b, x, y);
    if(c % gcd != 0) return -1;
    x *= c/gcd;
    b /= gcd;
    if(b < 0) b = -b;
    int ans = x % b;
    if(ans <= 0) ans += b;
    return ans;
}

同余方程：

根据上面的内容，我们可以得到：

• a∗x≡b(modn) ，转化为 a∗x+n∗y=b ，当 b%gcd(a,n)=0 时，方程有 gcd(a,n) 个解。
• a∗x≡1(modn) ，如果 gcd(a,n)=1 ，则方程有唯一解。