设 a=b∗p+q ,则 gcd(b,q)|b , gcd(b,q)|a ,故 gcd(b,q)|gcd(a,b) 。
同样 q=a−b∗p ,则 gcd(a,b)|q ,故 gcd(a,b)|gcd(b,q) .
可得 gcd(a,b)=gcd(b,a ,最终得到 gcd(a,b)=gcd(c,0)=c
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
设 a>b
当 b=0 时, a∗1+b∗0=a=gcd(a,b) ,此时 x=1,y=0
当 b!=0 时,设
a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)
b∗x2+a%b∗y2=gcd(b,a%b)
由于 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ,所以有 a∗x1+b∗y1=b∗x2+a%b∗y2
将 a%b=a−(a/b)∗b 代入,
得到 a∗x1+b∗y1=a∗y2+b∗x2−(a/b)∗b∗y2
即 x1=y2,y1=x2−(a/b)∗y2
因此可以递归的定义 exgcd ,同样 b=0 时递归结束。返回最大公约数。
int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
int d = a;
if(b != 0) {
d = extgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a/b) * x;
}else {
x = 1, y = 0;
}
return d;
}
通过上面的方法可得到一组特解 x0 , y0 使得 a∗x+b∗y=gcd(a,b) ,那么如何在无穷多个解中求出 x,y 最小正整数解。
首先 a∗x0+a∗k∗b/gcd(a,b)+b∗y0−a∗k∗b/gcd(a,b)=gcd(a,b)
即 a∗(x0+k∗b/gcd(a,b))+b∗(y0−k∗a/gcd(a,b))=gcd(a,b)
通解为 x=x0+k∗b/gcd(a,b),y=y0−k∗a/gcd(a,b) ,其中 k=...−2,−1,0,1,2...
在所有解中最小的正整数为 (x0+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b)) ,
所以对于方程 a∗x+b∗y=c ,最小正整数解(以x为例)为 (x0∗c/gcd(a,b)+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b))
注意:若b为负数,需将b转换为正数。
int cal(int a, int b, int c)
{
int x, y;
int gcd = extgcd(a, b, x, y);
if(c % gcd != 0) return -1;
x *= c/gcd;
b /= gcd;
if(b < 0) b = -b;
int ans = x % b;
if(ans <= 0) ans += b;
return ans;
}
根据上面的内容,我们可以得到: