百科--全错排列

全错位排列 

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全错位排列指即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707-1783)称为组合数论的一个妙题的"装错信封问题"

基本信息

• 中文名称

  全错位排列

• 提出者

  欧拉

 

• 领    域

  数学

• 又    称

  "装错信封问题"

》》个人理解：即全不对应自己的位置。

问题：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种?

递推公式:

用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类:

(1)b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

(2)b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把(除a之外的)(n-1 )份信纸b、c……装入(除B以外的)n-1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n-2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

f(n) = (n-1) *( f(n-2)+f(n-2) )

或f(n) = n f(n-1) +(-1)^(n-2)

或f(n)=n f(n-1) + (-1)^n

f(1)=0;f(2)=1;f(3)=2

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2048