抽屉原理之应用
1 证明每个由n^2+1个实数构成的序列a1,a2,…an^2+1或者含有长度为n的递增子序列或者含有长度为n的递减子序列。
证明：假设不存在长度为n+1的递增子序列，则证明必存在长度为n+1的递减子序列。
对于每一个k=1,2,…,n^2+1，令mk为最长的递增子序列的长度。该子序列从ak开始，对于每一个k=1,2,…n^2+1有mk≤n，因为不存在长度为n+1的递增子序列，则m1,m2,…mn^2+1是n^2+1个在1和n之间的整数，由抽屉原理知，（n^2+1）/n=n+1/n，所以一定有n+1个相等的数。
取mk1=mk2=…mkn+1
其中1≤k1<k2<…<kn+1≤n^2+1.
设对于某个i=1,2,…,n,有aki<aki+1.则由于ki<ki+1,我们可以制造一个从aki+1开始的最长的递增子序列并将aki放在前面得到一个从aki开始的递增子序列。但这样则推出mki>mki+1,因此aki≥aki+1.
由于对于每一个i=1,2,…n均成立，因此ak1,ak2,…akn+1是一个长度为n+1的递减子序列。
2 75个人参加数学竞赛，最高分为20分。75个人的总分为980分，至少有几个人的分数相同？
980/75=13…5,
13*2=26
6~20共15个人，共有5轮人的得分相同，剩下的5分只能从75个人当中选出来一个。所以至少是6个人的得分相同。
注：一个小孩问我一道公务员题，发现原来是小学奥数啊，我再问另一个人，发现原来是组合数学啊！