HDU 1907 John(尼姆博弈之ANTI-SG游戏)

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尼姆博弈之ANTI-SG游戏。

定义概念：
孤单堆：只有一根火柴的堆
充裕堆：有两根或两根以上火柴的堆
T态：所有堆火柴数异或值为0
S态：所有堆火柴数异或值大于0
T0,S0：所有堆为孤单堆的T/S情形
T1,S1：有一个充裕堆的T/S情形
T2,S2：有两个或以上充裕堆的T/S情形
事实上，孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位，但充裕堆会影响高位（非最后一位）。一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0，故T1态实际上不存在。
[定理5]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。
证明：
S0态，其实就是每次只能取一根。每次第奇数根都由己取，第偶数根都由对 方取，所以最后一根必己取。败。同理, T0态必胜

[定理6]：S1态，只要方法正确，必胜。
证明：
若此时孤单堆含奇数个火柴，把充裕堆取完；否则，取成一根。这样，就变成奇数个孤单堆，由对方取。由定理5，对方必输。己必胜。 #
[定理7]：S2态不可转一次变为T0态。
证明：
充裕堆数不可能一次由2变为0。得证。
[定理8]：S2态可一次转变为T2态。
证明：
由定理1，S态可转变为T态，S态可一次转变为T态，又由定理6，S2态不可转一次变为T0态，所以转变的T态为T2态。
[定理9]：T2态，只能转变为S2态或S1态。
证明：
由定理2，T态必然变为S态。由于充裕堆数不可能一次由2变为0，所以此时的S态不可能为S0态。命题得证。
[定理10]：S2态，只要方法正确，必胜.
证明：
方法如下：
1） S2态，就把它变为T2态。（由定理8）
2） 对方只能T2转变成S2态或S1态（定理9）
若转变为S2, 转向1）
若转变为S1, 这己必胜。（定理5）
[定理11]：T2态必输。
证明：同10。
综上所述，对于ANTI-SG游戏：
必输态有： T2,S0
必胜态： S2,S1,T0.

那么由以上可以看出，有两种情况。

一是全是孤单堆，二是至少有一堆不是孤单的。

那么对于第一种情况，如果有奇数个孤单堆，先手负，这对应S0，否则先手胜，这对应T0。对于第二种情况，与SG游戏结果相同，初始局面SG值亦或不为零，先手胜，这对应S2,S1，否则，先手负，这对应T2。只有一个非孤单堆是出不来T的，所以对于第二种情况，只要出现T那么一定是T2，不可能是T1。

#include <iostream>

using namespace std;

int T,N;

int main()
{
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        cin >> N;
        int ans = 0;
        int flag = false;
        int num;
        for(int i = 1;i <= N;i++)
        {
            cin >> num;
            if(num > 1)
                flag = true;
            ans ^= num;
        }
        if(!flag)
        {
            if(N % 2)
                cout << "Brother" << endl;
            else
                cout << "John" << endl;
        }
        else
        {
            if(ans)
                cout << "John" << endl;
            else
                cout << "Brother" << endl;
        }


    }
    return 0;
}