【BZOJ 1050】 [HAOI2006]旅行comf

1050: [HAOI2006]旅行comf

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Description

给你一个无向图，N(N<=500)个顶点, M(M<=5000)条边，每条边有一个权值Vi(Vi<30000)。给你两个顶点S和T，求一条路径，使得路径上最大边和最小边的比值最小。如果S和T之间没有路径，输出”IMPOSSIBLE”，否则输出这个比值，如果需要，表示成一个既约分数。 备注： 两个顶点之间可能有多条路径。

Input

第一行包含两个正整数，N和M。 下来的M行每行包含三个正整数：x，y和v。表示景点x到景点y之间有一条双向公路，车辆必须以速度v在该公路上行驶。 最后一行包含两个正整数s，t，表示想知道从景点s到景点t最大最小速度比最小的路径。s和t不可能相同。

Output

如果景点s到景点t没有路径，输出“IMPOSSIBLE”。否则输出一个数，表示最小的速度比。如果需要，输出一个既约分数。

Sample Input

【样例输入1】
4 2
1 2 1
3 4 2
1 4
【样例输入2】
3 3
1 2 10
1 2 5
2 3 8
1 3
【样例输入3】
3 2
1 2 2
2 3 4
1 3

Sample Output

【样例输出1】
IMPOSSIBLE
【样例输出2】
5/4
【样例输出3】
2

HINT

【数据范围】

1<  N < = 500

1 < = x, y < = N，0 < v < 30000，x ≠ y

0 < M < =5000

类似于kruscal的思想。

要求max/min要尽量小，那么就让他俩尽量接近，于是就想到了kruscal中按照边权排序，再依次加入的思路。

那么我们从小到大枚举最小边，按照kruscal的方法，用并查集维护连通性，使得最大边权尽量小，用max/min更新答案。

一开始我非常奇怪，用最小生成树的方法来求路径，会不会造成路的分叉呢？

不会的！因为s与t连通时，我们立刻跳出循环，那么最后这条使得st连通的边是s到t必经边，而且也是的整个图中最大的边。

s到t一定有一条路径（因为st连通），我们并不知道中间是怎么走的，但最大的一定是最后加的这一条。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int n,m,s,t,x1,y1,f[505];
struct edge
{
	int x,y,v;
}e[5005];
void read(int &tmp)
{
	tmp=0;
	char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
		tmp=tmp*10+ch-'0';
}
bool cmp(edge a,edge b)
{
	return a.v<b.v;
}
int Getfather(int x)
{
	return x==f[x]?x:f[x]=Getfather(f[x]);
}
int gcd(int a,int b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
        read(n),read(m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		read(e[i].x),read(e[i].y),read(e[i].v);
	read(s),read(t);
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	int x1=0,y1=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int ma=-1;
		for (int j=1;j<=n;j++)
			f[j]=j;
		for (int j=i;j<=m;j++)
		{
			int f1=Getfather(e[j].x),f2=Getfather(e[j].y);
			if (f1==f2) continue;
			f[f1]=f2;
			if (Getfather(s)==Getfather(t))
			{
				ma=e[j].v;
				break;
			}
		}
		if (ma==-1&&(i==1))
		{
			printf("IMPOSSIBLE\n");
			return 0;
		}
		if (ma==-1) break;
		if (x1==0||x1*e[i].v>ma*y1)
			x1=ma,y1=e[i].v;
	}
	int x=gcd(x1,y1);
	if (x==y1) printf("%d\n",x1/y1);
	else printf("%d/%d\n",x1/x,y1/x);
	return 0;
}

感悟：

1.对kruscal的变形：两个点连通（属于同一个并查集），就一定有一条路径