回溯法算法步骤&n皇后问题的详细程序（C++）

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回溯法有“通用解题法”之称，可以系统的搜索问题的所有解，既有系统性也有跳跃性。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至洁空间树
的任一结点时，先判断该结点是否包括该问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为
根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则进入该子树，继续按深度优先策略搜索。


  回溯法解题的三个步骤：
  （1）针对所给问题，定义问题的解空间；
  （2）确定易于搜索的解空间结构；
  （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。


 递归法实现回溯：
其中t表示递归深度，n用来控制递归深度。当t>n时，算法以搜索至叶结点。此时，由output(x)记录或输出
得到的可行解x。for循环中的f(n,t)和g(n,t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过的子树的起始编号和终止编号。
h(i)表示在当前扩展结点处x[t]的第i个可选值。constraint(t)和bound(t)是当前扩展结点处的约束函数和
限界函数。
调用一次backtrack(1)即可完成整个回溯搜索过程。
  void backtrack(int t)
  {
if(t>n)
output(x);
else
{
for(i=f(n,t); i<=g(n,t); i++)
{
x[t]=h(i);
if(constraint(t)&&bound(t))
backtrack(t+1);
}
}
  }




  采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程


 void iterativeBack()
 {
 int t=1;
 while (t>0)
 {
 if(f(n,t)<g(n,t))
 for(i=f(n,t); i<=g(n,t); i++)
 {
 x[t]=h(i);
 if(constraint(t)&&bound(t))
 {
 if (solution(t))
 output(x);
 else t++;
 }
else t--;
 }
 }
  }


  在回溯法的搜索过程中动态产生问题的解空间，在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点
的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间为O(h(n)).
而显示地存储整个解空间则需要O(2^h(n))或O(h(n)!)内存空间


————————————————————————————
当所给的问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间树为自己树。O(2^n)
如0-1背包问题，装载问题，符号三角形问题，最大团问题，图的m着色问题，n皇后问题
当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列是，相应的解空间树称为排列树。O(n!)
如批处理作业调度，旅行售货员问题，圆排列问题，电路板排列问题




用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为：


  void backtrack(int t)
  {
 if(t>n)
 output(x);
 else
 {
 for (i=0; i<=1; i++)
 {
 x[t]=i;
 if(constraint(t)&&bound(t))
 backtrack(t+1);
 }
 }
  }


  用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为：
  void backtrack(int t)
  {
 if(t>n)
output(x);
 else
 {
 for (i=t;i<=n; i++)
 {
 swap(x[t],x[i]);
 if(constraint(t)&&bound(t))
 backtrack(t+1);
 swap(x[t],x[i]);


 }
 }
  }


*/


 
#include <iostream>
#include <cmath>


using namespace std;


class NQueen
{
private:
int numOfQueen; //the number of queens
int numOfanswer; //the number of answers
int *queen;


public:
NQueen();
NQueen(int m);
~NQueen();
bool place(int k);
void backtrack(int t);
void showQueen();
};


NQueen::NQueen()
{
numOfQueen = 0;
numOfanswer = 0;
queen = new int [1];
}


NQueen::NQueen(int m)
{
numOfQueen = m;
numOfanswer = 0;
queen = new int [m+1];
for(int i=0;i<=m;i++)
{
queen[i]=0;
}
}


NQueen::~NQueen()
{
delete []queen;
cout<<"queens are deleted!"<<endl;
}


void NQueen::showQueen()
{
for(int i=1;i<=numOfQueen;i++)
cout<<queen[i]<<"  ";
cout<<endl;
}


bool NQueen::place(int k) //the constraint function
{
for (int j=1; j<k; j++)
if((fabs(k-j)==fabs(queen[j]-queen[k]))||(queen[j]==queen[k]))
return false;
return true;
}


void NQueen::backtrack(int t)
{
int i=0;
if(t>numOfQueen)
{
numOfanswer++;
showQueen();
}
else
{
for(i=1; i<=numOfQueen; i++)
{
queen[t]=i;
if(place(t))
backtrack(t+1);
}
}
}




int main()
{
int m1=4,m2=8;
NQueen Q1(m1);
cout<<"the number of queens are :"<<m1<<endl;
Q1.backtrack(1);


NQueen *Q2 = new NQueen(m2);
cout<<"the number of queens are :"<<m2<<endl;
Q2->backtrack(1);


return 0;
}