数据结构之图

一、图的定义

1、图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

2、线性表中把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素则称之为顶点。

3、线性表中可以没有数据元素，称为空表；树中可以没有结点，叫做空树；在图结构中，不允许没有顶点，在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合V有穷非空。（注意：此处定义有争议，国内部分教材强调点集非空，但在http://en.wikipedia.org/wiki/Null_graph中提出点集可为空）

4、在图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

5、若顶点vi到vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对(vi,vj)来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。如下图就是一个无向图，由于是无方向的，所以连接顶点A与D的边，既可以表示成无序对(A,D)，也可以表示成(D,A)。

6、若从顶点vi到vj之间的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧，用有序偶<vi,vj>来表示，其中vi称为弧尾，vj称为弧头。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。下图就是一个有向图，其中<A,D>就表示弧，注意不能写成<D,A>。

7、在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。下面的两个图都不是简单图。

8、在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n x (n-1) / 2条边。如下图。

9、在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n x (n-1)条边。如下图。

10、对于具有n个顶点和e条边数的图，无向图0<=e<=n(n-1)/2，有向图0<=e<=n(n-1)。

11、有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。这里的稀疏和稠密都是相对而言的。

12、有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权。这种带权的图通常称为网。如下图。

13、假设有两个图G1=(V1,{E1})和G2=(V2,{E2})，如果V2⊆V1且E2⊆E1，则称G2为G1的子图。如下带底纹的图均为左侧无向图与有向图的子图。

二、图的顶点与边间关系

1、对于无向图G=(V,{E})，如果边(v1,v2)∈E，则称顶点v1和v2互为邻接点，即v1和v2相邻接。边(v1,v2)依附于顶点v1和v2，或者说(v1,v2)与顶点v1与v2相关联。顶点v1的度是和v1相关联的边的数目，记为TD(v1)。如下图顶点A与B互为邻接点，顶点A的度是3，各个顶点度的和为3+2+3+2=10，此图的边数是5，发现，边数其实就是各顶点度数和的一半，多出的一半是因为重复两次记数。简记为。

2、对于有向图G=(V,{E})，如果弧<v1,v2>∈E，则称顶点v1邻接到顶点v2，顶点v2邻接自顶点v1。弧<v1,v2>和顶点v1，v2相关联。以顶点v1为头的弧的数目称为v1的入度，记为ID(v1)；以v1为尾的弧的数目称为v1的出度，记为OD(v1)；顶点v1的度为TD(v1)=ID(v1)+OD(v1)。如下图，顶点A的入度为2，出度为1，所以顶点A的度为2+1=3；此有向图的弧有4条，各顶点的出度和为1+2+1+0=4，各顶点的入度和为2+0+1+1=4，所以得到

3、无向图G=(V,{E})中从顶点v1到顶点v2的路径是一个顶点序列(v1=vi,0，vi,1，......，vi,m=v2)，其中(vi,j-1，vi,j)∈E，1≤j≤m。如下图的左图的顶点B到顶点D的四种不同的路径。如果G是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应该满足<vi,j-1，vi,j>∈E，1≤j≤m。如下图的右图顶点B到顶点D有两种路径，而顶点A到B就不存在路径。

                                                     

4、路径的长度是路径上的边或弧的数目。如上图的右图的路径长度分别是2和3。

5、第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环（路径最终回到起始点）。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。如下图的粗线部分都构成环，左侧的环因第一个顶点和最后一个顶点都是B，而C、D、A没有重复出现，所以是一个简单环。而右侧的环由于顶点C的重复就不是简单环了。

三、连通图相关术语

1、在无向图G中，如果从顶点v1到顶点v2有路径，则称v1和v2是连通的。如果对于图中任意两个顶点vi、vj∈V，vi和vj都是连通的，则称G是连通图。下图的左图是无向非连通图，而右图是无向连通图。

2、无向图中的极大连通子图称为连通分量。强调：

     1）要是子图。

     2）子图要是连通的。

     3）连通子图含有极大顶点数。

     4）具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。   上图中左图虽然不是连通图，但是它有两个连通分量，即上图中的右图和下图中的左图，因为下图中的右图不满足连通子图的极大顶点数，所以不是上图中左图的连通分量。

3、在有向图G中，如果对于每一对vi、vj∈V，vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

4、一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。如下图的图1不是生成树，当去掉两条构成环的边后，比如图2或图3，就满足n个顶点，n-1条边且连通的定义，图2和图3都是一棵生成树。所以：如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果多于n-1条边，则必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径，比如图2和图3，随便加哪两顶点的边都将构成环。不过有n-1条边并不一定是生成树，比如图4。

5、如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。所谓入度为0其实就相当于树中的根结点，其余顶点入度为1就是说树的非根结点的双亲只有一个。一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。如下图所示，其中图1是一个有向图，去掉一些弧后，分解为两棵有向树，如图2和图3，且这两棵有向树就是图1有向图的生成森林。

四、图的存储结构之邻接矩阵

1、从图的逻辑结构定义来看，图上任何一个顶点都可被看成是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。如下面的四张图，它们其实是同一个图，只是顶点的位置不同。

2、图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

3、设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n x n的方阵，定义为：

     

     无向图邻接矩阵实例，如下图，可以发现无向图的边数组是一个对称矩阵。

     

     有向图邻接矩阵实例，如下图，有向图的边数组就不是对称的了，还可以发现顶点v1的入度正好是第v1列各数之和；而出度即是该行的各数之和。

     

4、设图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n x n的方阵，定义如下，其中Wij表示(vi,vj)或<vi,vj>上的权值。∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，即一个不可能的极限值。

     

     有向网图邻接矩阵实例，如下图

     

5、图的邻接矩阵存储的结构代码如下：

 #define MAXVEX 100           /* 最大顶点数 */
 #define INFINITY 65535       /* 用65535来代表∞ */

 typedef char VertexType;     /* 顶点类型  */
 typedef int EdgeType;        /* 边上的权值类型 */

 typedef struct
 {
     VertexType vexs[MAXVEX];           /* 顶点表 */
     EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];      /* 邻接矩阵，可看作边表 */
     int numNodes, numEdges;            /* 图中当前的顶点数和边数  */
 }MGraph;

6、建立无向网图的邻接矩阵表示的代码如下，从中可以得到n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n+n²+e)，其中对邻接矩阵Garc的初始化消耗了O(n²)的时间。

 /* 建立无向网图的邻接矩阵表示 */
 void CreateMGraph(MGraph *G)
 {
     int i, j, k, w;
     printf("输入顶点数和边数:\n");
     scanf("%d,%d", &G->numNodes, &G->numEdges);              /* 输入顶点数和边数 */
     for(i = 0; i < G->numNodes; i++)                         /* 读入顶点信息,建立顶点表 */
     {
         scanf("%c", &G->vexs[i]);
     }
     for(i = 0; i < G->numNodes; i++)
     {
         for(j = 0; j < G->numNodes; j++)
         {
             G->arc[i][j] = INFINITY;                      /* 邻接矩阵初始化 */
         }
     }
     for(k = 0; k < G->numEdges; k++)                         /* 读入numEdges条边，建立邻接矩阵 */
     {
         printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权w:\n");
         scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);                       /* 输入边(vi,vj)上的权w */
         G->arc[i][j] = w;
         G->arc[j][i] = G->arc[i][j];                         /* 因为是无向图，矩阵对称 */
     }
 }

7、对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。如下图。

五、图的存储结构之邻接表
1、 数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。邻接表的处理办法：

      1）图中顶点用一个一维数组存储（也可以用单链表来存储），对于顶点数组中，每个数据元素还要存储指向第一个邻接点的指针。

      2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于其个数不定，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

2、无向图的邻接表结构图示：其中顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点；边表结点由adjvex和next两个域组成，adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。

3、如下图所示，是有向图的邻接表和逆邻接表，要注意的是有向图由于有方向， 是以顶点为弧尾来存储出边表的，这有利于得到每个顶点的出度。为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点vi都建立一个链接为vi为弧头的表。

4、对于带权值的网图，可以在出边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可，如下图所示。

5、邻接表结点定义代码如下：

 #define MAXVEX 100                   /* 最大顶点数*/

 typedef char VertexType;             /* 顶点类型 */
 typedef int EdgeType;                /* 边上的权值类型 */

 /* 边表结点  */
 typedef struct EdgeNode
 {
     int adjvex;                      /* 邻接点域,存储该顶点对应的下标 */
     EdgeType weight;                     /* 用于存储权值,对于非网图可以不需要 */
     struct EdgeNode *next;           /* 链域,指向下一个邻接点 */
 }EdgeNode;

 /* 顶点表结点 */
 typedef struct VertexNode
 {
     VertexType data;                 /* 顶点域,存储顶点信息 */
     EdgeNode *firstedge;             /* 边表头指针 */
 }VertexNode, AdjList[MAXVEX];

 typedef struct
 {
     AdjList adjList;
     int numNodes, numEdges;           /* 图中当前顶点数和边数 */
 }GraphAdjList;

6、无向图的邻接表的创建代码：其中应用了单链表创建中的头插法，对于n个顶点和e条边来说，时间复杂度是O(n+e)。

 /* 建立图的邻接表结构 */
 void  CreateALGraph(GraphAdjList *G)
 {
     int i, j, k;
     EdgeNode *e;
     printf("输入顶点数和边数:");
     scanf("%d,%d", &G->numNodes, &G->numEdges);          /* 输入顶点数和边数 */
     for(i = 0; i < G->numNodes; i++)                     /* 读入顶点信息,建立顶点表 */
     {
         scanf("%c", &G->adjList[i].data);                 /* 输入顶点信息 */
         G->adjList[i].firstedge = NULL;               /* 将边表置为空表 */
     }

     for(k = 0; k < G->numEdges; k++)                     /* 建立边表 */
     {
         printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:");
         scanf("%d,%d", &i, &j);                          /* 输入边(vi,vj)上的顶点序号 */
         e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        /* 向内存申请空间,生成边表结点 */
         e->adjvex = j;                                    /* 邻接序号为j */
         e->next = G->adjList[i].firstedge;                 /* 将e的指针指向当前顶点上指向的结点 */
         G->adjList[i].firstedge = e;                  /* 将当前顶点的指针指向e */

         e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        /* 向内存申请空间,生成边表结点 */
         e->adjvex = i;                                    /* 邻接序号为i */
         e->next = G->adjList[j].firstedge;                 /* 将e的指针指向当前顶点上指向的结点 */
         G->adjList[j].firstedge = e;                  /* 将当前顶点的指针指向e */
     }
 }

六、图的存储结构之十字链表

1、对于有向图来说，邻接表是有缺陷的，它解决了出度却不容易了解入度，反之逆邻接表解决了入度却不容易了解出度，把邻接表和逆邻接表整合在一起，即成了有向图的一种存储方法：十字链表。

2、重新定义顶点表结点结构如下图，其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点；firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。

     重新定义的边表结点结构如下图，其中tailvex是指弧起点在顶点表的下标，headvex是指弧终点在顶点表中的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边；taillink是指出边表指针域，指向起点相同的下一条边，如果是网，可以再增加一个weight域来存储权值。

3、如下图是十字链表的存储图示，其中实线箭头表示的就是邻接表，而虚线箭头就是此图的逆邻接表的表示。

转载链接：http://blog.csdn.net/cdu09/article/details/8980978