DZY Loves Partition

问题描述

DZY喜欢拆分数字。他想知道能否把$n$拆成恰好$k$个不重复的正整数之和。

思考了一会儿之后他发现这个题太简单，于是他想要最大化这$k$个正整数的乘积。你能帮帮他吗？

由于答案可能很大，请模109710​9​​+7输出。

输入描述

第一行$t$，表示有$t$组数据。

接下来$t$组数据。每组数据包含一行两个正整数$n,k$。

(1t502nk1091≤t≤50,2≤n,k≤10​9​​)

输出描述

对于每个数据，如果不存在拆分方案，输出$-1$；否则输出最大乘积模109710​9​​+7之后的值。

输入样例

4
3 4
3 2
9 3
666666 2

输出样例

-1
2
24
110888111

Hint

第一组数据没有合法拆分方案。
第二组数据方案为$3=1+2$，答案为1221×2=2
第三组数据方案为$9=2+3+4$，答案为$2\times 3\times 4=24$。注意$9=3+3+3$是不合法的拆分方案，因为其中包含了重复数字。
第四组数据方案为$666666=333332+333334$，答案为$333332\times 333334=111110888888$。注意要对109710​9​​+7取模后输出，即
110888111
记$sum(a,k)=a+(a+1)+\cdots +(a+k-1)$。
首先，有解的充要条件是$sum(1,k)\le n$（如果没取到等号的话把最后一个$k$扩大就能得到合法解）。
然后观察最优解的性质，它一定是一段连续数字，或者两段连续数字中间只间隔1个数。这是因为$1\le a<=b-2$时有$ab<(a+1)(b-1)$，如果没有满足上述条件的话，我们总可以把最左边那段的最右一个数字作为$a$，最右边那段的最左一个数字作为$b$，调整使得乘积更大。
可以发现这个条件能够唯一确定$n$的划分，只要用除法算出唯一的$a$使得$sum(a,k)\le n<sum(a+1,k)$就可以得到首项了。
时间复杂度OnO(√​n​​​)，这是暴力把每项乘起来的复杂度。
110888111
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
int a[100005];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        int n, k;
        scanf("%d %d", &n, &k);
        LL tmp = (LL)k * (k + 1) / 2;
        if (tmp > n)
        {
            puts("-1");
            continue;
        }
        for (int i = 1; i <= k; i++) a[i] = i;
        n -= tmp;
        for (int i = 1; i <= k; i++) a[i] += n / k;
        n -= n / k * k;
        for (int i = k; i >= 1 && n > 0; i--, n--) a[i]++;
        LL ans = 1;
        for (int i = 1; i <= k; i++)
        {
            ans *= a[i];
            ans %= 1000000007;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}