置换群 Polya定理 基础 笔记
1. 等价关系
表示二元集合的方法：
1．(a,b)CR：a, b 之间有R关系
2．关系矩阵：用矩阵Z，Zi,j表示Xi和Yj是否有关系，有则为1，无则为0
等价关系：满足以下三个性质
自反性：(a,a)CR
对称性：(a,b)CR => (b,a)CR
传递性：(a,b)CR，(b,c)CR =>(a,c)CR
等价类：将等价的元素归入一个集合
[a]R={x|xCA, (a,x) C 等价关系R}
显然等价类非空，因为至少有(a,a) CR
2. 置换群
群：满足四个性质的集合G，集合中的元素有运算*
封闭性：a, bCG => a*bCR
结合性：a*(b*c)=(a*b)*c
单位元e存在：对于G中任何元素a，a*e=e*a=a
逆元存在：对于G中任何元素a，存在b，s.t. a*b=b*a=e
则称G是对于运算*的群
置换：有限集G到有限集G的一一变换
置换群：
1． 含有n个元素的群G有n!个不同的置换
2． m阶循环：一个置换中有m个元素变化，n-m个不变
3． 当所有元素都不动时，称为单位元e
4． 置换的表示：(1,3,4,2)表示1->3, 3->4, 4->2, 2->1
5． Sn：n个元素的所有置换方式的集合，| Sn |=n!
6． 置换循环分解成换位的乘积时，换位个数的奇偶性不变
3． Burnside引理
Ck：k阶循环在一个置换中出现的次数是Ck，用(k)Ck表示
因此，Sn中的置换都可以用
(1) C1 (2) C2…(n) Cn
表示。
其中，∑(k*Ck)=n
共轭类：具有相同(1) C1 (2) C2…(n) Cn格式的置换群体
同一共轭类中的元素个数为
n!/ (∑Ck!*∑kCk)
K不动置换类：G是Sn的一个子群，Zk表示G中k不动的置换群。k所属的等价类记为Ek。有
|Ek|*|Zk|=|G|
例如：G={e, (12), (34), (12)(34) }
E1=E2={1, 2}，Z1=Z2={e, (34) }，|E1|*|Z1|=2*2=4=|G|
Burnside引理：
设G={a1, a2 … an}，ai都是置换，其中a1=e。
Cj(ak)表示置换ak中j阶循环的个数
L=∑|Zk|/|G|，L表示N集合中引出不同等价类的数目
也就是G群中，用m种颜色给n个对象进行染色的不同方案数
4． Polya定理
对于置换群G={ g1, g2 … gn }，gi的循环节数记为c(gi)。例如g3=(13)(24)，则c(g3)=2
L=∑mc(gi)/|G|