二项式系数 & 递推关系初步

二项式系数

1.       Pascal公式:C( n, k ) = C( n-1, k ) + C( n-1, k-1)

2.       一些恒等式

a.       k*C( n, k ) = n*C(n-1. k-1 )

b.      C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) - … + (-1)nC(n, n) = 0  (n>=1)

c.       1*C(n, 1) + 2*C(n, 2) + 3*C(n, 3) + … + n*C(n, n) = n*2n-1

d.      Vandermonde卷积:

C(2n, n) = C(n, 0)2+ C(n, 1)2+ C(n, 2)2+ … + C(n, n)2

3.       多项式定理

a.       (x1+ x2+…+ xt)n中,项x1n1x2 n2…xt nt的系数是n! / (n1!* n2!*… *nt!)

b.      运用Pascal定理描述,

c.        n! / (n1!* n2!*… *nt!) = n!/[ ( (n1-1)!* n2!*… *nt!) ( n1!*( n2-1)!*… *nt!)… ( n1!*( n2-1)!*… *(nt-1)! ) ]

4.       牛顿二项式定理:(x+y)n = ∑C(n, k)xkyn-k

a.       (x+y)n = ya(z+1)a = ya*∑C(a, k)zk。其中z = x/y

b.      例如 计算sqrt(20)的展开式

递推关系初步

1.       斐波那契数列部分和Sn = f0+f1+…+fn = fn+2 – 1

2.       线性递推关系:hn = a1hn-1 + a2hn-2 +…+ akhn-k + bn

a.       齐次: bn = 0

如果q是方程

        xk – a1xk-1 – a2xk-2 -…- ak =0

的一个根,则hn = qn是递推关系的一个解

如果方程有k个非零根且互异,则

hn = c1q1n + c2q2n + … +ckqkn 是一般解

该方程称为 特征方程

如果qisi的重根,则一般解围

        hn = Hn(1) + Hn(2) +…+ Hn(t)

        Hn(t) = (c1 + c2n + … +csnst-1)qtn

例如hn = -hn-1 + 3hn-2 + 5hn-3 + 2hn-4 满足h0 =1, h1 =0, h2 =1, h3 =2的解

        x4 + x3 – 3x2 -5x-2 =0

        方程的根是-1 -1 -1 2

        对于-1的部分解是

                        Hn(1) = c1(-1)n + c2n(-1)n + c3n2(-1)n

        最终的一般解为

                        Hn = c1(-1)n + c2n(-1)n + c3n2(-1)n + c42n

b.      非齐次

                       i.      求出齐次关系的一般解

                       ii.      求出非齐次关系的一个特解

                       iii.      合并,求出常数项

难点在于找出特解

 

 

 

 

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