最近公共祖先 (Lowest common ancestor)

问题：

给定一个二叉树，找到两个节点NA， NB的最近公共祖先(LCA)。

比如对于下图，4 和 7 的 LCA 是6， 1和13的LCA 是 8。

分析：

我们这里先考虑一般的二叉树(BT)，然后再考虑这个二叉树是二叉搜索树(BST)的情况。

查找两个node的最早的公共祖先，分三种情况：

1. 如果两个node在root的两边，那么最早的公共祖先就是root。

2. 如果两个node在root的左边，那么把root.leftChild作为root，再递归。

3. 如果两个node在root的右边，那么把root.rightChild作为root，再递归。

那么我们如何知道能否通过原始节点到达某一个节点呢？这里我们需要定义一个递归函数covers (Node root, Node node)，让root的左右子节点不断的调用这个函数，如果某一个子节点就是要找到的节点，那么返回true，否则返回false. 具体代码如下：

/*
     * check whether the node n is in the tree
     */
    private static boolean covers(Node rootNode, Node n) {
    	if(rootNode == null) return false;
    	if(rootNode == n) return true;
    	return covers(rootNode.leftChild, n) || covers(rootNode.rightChild, n);
    }

有个covers这个函数，我们要实现前面三种不同的情况，那就简单了。代码如下：

/*
     * get the first common ancestor of node p and node q
     */
    public static Node commonAncestor(Node rootNode, Node p, Node q) {
    	// case 2
        if (covers(rootNode.leftChild, p) && covers(rootNode.leftChild, q))
    		return commonAncestor(rootNode.leftChild, p, q);
    	//case 3
        if (covers(rootNode.rightChild, p) && covers(rootNode.rightChild, q))
    		return commonAncestor(rootNode.rightChild, p, q);
    	//case 1
        return rootNode;
    }

如果这个二叉树是BST，那么我们可以利用BST的特点，把根节点的值与两个节点的值进行比较，如果两个节点的值都比根节点的值小，那么一定在根节点的左边，所以我们把根节点的左子节点作为起始点，然后递归。如果两个节点的值都比祖先节点的值大，那么一定在根节点的右边，所以我们把根节点的右子节点作为起始点，然后递归，如果上面两张情况都不是，那么很明显，这个根节点就是LCA. 代码如下：

public Node LCA(Node root, Node p, Node q) {
  if (root == null || p == null || q == null ) return NULL;	
  if (max(p.data, q.data) < root.data)
    return LCA(root.left, p, q);
  else if (min(p.data, q.data) > root.data)
    return LCA(root.right, p, q);
  else
    return root;
}

备注：这里并没有考虑 p 和 q 不在 BST里的情况。

参考：

http://www.leetcode.com/2011/07/lowest-common-ancestor-of-a-binary-search-tree.html

http://blog.csdn.net/beiyeqingteng