椭圆的生成算法

1. 椭圆的生成算法http://blog.csdn.net/orbit/article/details/7496008

椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图形学软件中最常见的生成算法之一。在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为(x – x₀)² / a²+ (y – y₀)² / b² = 1，其中(x₀, y₀)是圆心坐标，a和b是椭圆的长短轴，特别的，当(x₀, y₀)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为x² / a² + y² / b² = 1。在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。

        在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：

图（1）椭圆的对称性

 

中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。

        在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求解的方式。本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。

 

1、  中点画椭圆法

 

        中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：

 

x² / a² + y² / b² = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：

F(x, y) = b²x² + a²y² - a²b² = 0                  （方程 1）

 

无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。举个例子，如果某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。因此，对于中点画圆弧算法，要区分出椭圆弧上哪段Δx增量变化显著，哪段Δy增量变化显著，然后区别对待。由于椭圆的对称性，我们只考虑第一象限的椭圆圆弧，如图（2）所示：

图（2）第一象限椭圆弧示意图

 

定义椭圆弧上某点的切线法向量N如下：

对方程1分别求x偏导和y偏导，最后得到椭圆弧上(x,y)点处的法向量是（2b²x, 2a²y）。dy/dx = -1的点是椭圆弧上的分界点。此点之上的部分（橙褐色部分）椭圆弧法向量的y分量比较大，即：2b²(x + 1) < 2a²(y – 0.5)；此点之下的部分（蓝紫色部分）椭圆弧法向量的x分量比较大，即：2b²(x + 1) > 2a²(y – 0.5)。

        对于图（2）中橙褐色标识的上部区域，y方向每变化1个单位，x方向变化大于一个单位，因此中点算法需要沿着x方向步进画点，x每次增量加1，求y的值。同理，对于图（2）中蓝紫色标识的下部区域，中点算法沿着y方向反向步进，y每次减1，求x的值。先来讨论上部区域椭圆弧的生成，如图（3）所示：

图（3）中点画椭圆算法对上部区域处理示意图

 

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点右边的P1(x_i+1, y_i)点或右下方的P2(x_i+1, y_i-1)点，取舍的方法取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

 

d_i = F(x_i+1, y_i-0.5) = b²(x_i+1)² + a²(y_i-0.5)² – a²b²

 

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+1, y_i+1-0.5) = b²(x_i+2)² + a²(y_i-0.5)² – a²b² = d_i + b²(2x_i + 3)

 

计算出d_i的增量是b²(2x_i + 3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+1, y_i+1-0.5) = b²(x_i+2)² + a²(y_i-1.5)² – a²b² = d₁ + b²(2x_i+3) + a²(-2y_i+2)

 

计算出d_i的增量是b²(2x_i+3)+a²(-2y_i+2)。计算d_i的增量的目的是减少计算量，提高算法效率，每次判断一个点时，不必完整的计算判别式d_i，只需在上一次计算出的判别式上增加一个增量即可。

        接下来继续讨论下部区域椭圆弧的生成，如图（4）所示：

图（4）中点画椭圆算法对下部区域处理示意图

 

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点左下方的P1(x_i -1, y_i-1)点或下方的P2(x_i, y_i-1)点，取舍的方法同样取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

 

d_i = F(x_i+0.5, y_i-1) = b²(x_i+0.5)² + a²(y_i-1)² – a²b²

 

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+0.5, y_i+1-1) = b²(x_i+1.5)² + a²(y_i-2)² – a²b² = d_i + b²(2x_i+2)+a²(-2y_i+3)

 

计算出d_i的增量是b²(2x_i+2)+a²(-2y_i+3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+0.5, y_i+1-1) = b²(x_i+0.5)² + a²(y_i-2)² – a²b² = d₁ + a²(-2y_i+3)

 

计算出d_i的增量是a²(-2y_i+3)。

        中点画椭圆算法从(0, b)点开始，第一个中点是(1, b – 0.5)，判别式d的初始值是：

 

d₀ = F(1, b–0.5) = b² + a²(-b+0.25)

 

上部区域生成算法的循环终止条件是：2b²(x + 1) >= 2a²(y – 0.5)，下部区域的循环终止条件是y = 0，至此，中点画椭圆算法就可以完整给出了：

20 void MP_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b) 21 {  22     double sqa = a * a; 23     double sqb = b * b; 24  25     double d = sqb + sqa * (-b + 0.25); 26     int x = 0; 27     int y = b; 28     EllipsePlot(xc, yc, x, y); 29     while( sqb * (x + 1) < sqa * (y - 0.5)) 30     {     31         if (d < 0) 32         { 33             d += sqb * (2 * x + 3); 34         } 35         else  36         {  37             d += (sqb * (2 * x + 3) + sqa * (-2 * y + 2)); 38             y--;    39         } 40         x++;  41         EllipsePlot(xc, yc, x, y); 42     } 43     d = (b * (x + 0.5)) * 2 + (a * (y - 1)) * 2 - (a * b) * 2; 44     while(y > 0) 45     {  46         if (d < 0) 47         { 48             d += sqb * (2 * x + 2) + sqa * (-2 * y + 3); 49             x++;  50         } 51         else  52         { 53             d += sqa * (-2 * y + 3);  54         } 55         y--; 56         EllipsePlot(xc, yc, x, y); 57     } 58 }

EllipsePlot()函数利用椭圆的三个对称性，一次完成四个对称点的绘制，因为简单，此处就不再列出代码。

 

2、  Bresenham算法

 

        中点画椭圆法中，计算判别式d使用了浮点运算，影响了椭圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算，则可以简化计算，提高效率。于是人们针对中点画椭圆法进行了多种改进，提出了很多种中点生成椭圆的整数型算法，Bresenham椭圆生成算法就是其中之一。

        在生成椭圆上部区域时，以x轴为步进方向，如图（5-a）所示：

图（5）Bresenham椭圆生成算法判别式

 

x每步进一个单位，就需要在判断y保持不变还是也步进减1，bresenham算法定义判别式为：

 

D = d₁ – d₂

 

如果D < 0，则取P1为下一个点，否则，取P2为下一个点。采用判别式D，避免了中点算法因y-0.5而引入的浮点运算，使得判别式规约为全整数运算，算法效率得到了很大的提升。根据椭圆方程，可以计算出d₁和d₂分别是：

 

d₁ = a²(y_i² – y²)

d₂ = a²(y² – y_i+1²)

 

以(0, b)作为椭圆上部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

 

D_i+1 = D_i + 2b²(2x_i + 3)                     (Di < 0)

D_i+1 = D_i + 2b²(2x_i + 3) – 4a²(y_i - 1)           (Di >= 0)

D₀ = 2b² – 2a²b + a²

 

在生成椭圆下部区域时，以y轴为步进方向，如图（5-b）所示，y每步进减一个单位，就需要在判断x保持不变还是步进加一个单位，对于下部区域，计算出d₁和d₂分别是：

 

d₁ = b²(x_i+1² – x²)

d₂ = b²(x² – x_i²)

 

以(x_p, y_p)作为椭圆下部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

 

D_i+1 = D_i – 4a²(y_i - 1) + 2a²                     (Di < 0)

D_i+1 = D_i + 2b²(x_i + 1) – 4a²(y - 1) + 2a² + b²          (Di >= 0)

D₀ = b²(x_p + 1)² +b²x_p² - 2a²b² + 2a²(y_p - 1)²

 

       根据以上分析，Bresenham椭圆生成算法的实现就比较简单了：

 

61 void Bresenham_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b)  62 {  63     int sqa = a * a;  64     int sqb = b * b;  65   66     int x = 0;  67     int y = b;  68     int d = 2 * sqb - 2 * b * sqa + sqa;  69     EllipsePlot(xc, yc, x, y);  70     int P_x = ROUND_INT( (double)sqa/sqrt((double)(sqa+sqb)) );  71     while(x <= P_x)  72     {  73         if(d < 0)  74         {  75             d += 2 * sqb * (2 * x + 3);  76         }  77         else  78         {  79             d += 2 * sqb * (2 * x + 3) - 4 * sqa * (y - 1);  80             y--;  81         }  82         x++;  83         EllipsePlot(xc, yc, x, y);  84     }  85   86     d = sqb * (x * x + x) + sqa * (y * y - y) - sqa * sqb;  87     while(y >= 0)  88     {  89         EllipsePlot(xc, yc, x, y);  90         y--;  91         if(d < 0)  92         {  93             x++;  94             d = d - 2 * sqa * y - sqa + 2 * sqb * x + 2 * sqb;  95         }  96         else  97         {  98             d = d - 2 * sqa * y - sqa;  99         } 100     } 101 }

        总结一下，本文介绍了两种计算机图形学中常见的椭圆生成算法，实际上还有很多种改进算法，包括提高效率，引入反走样技术等等，但那已经不是本文的重点，能把算法的基本原理讲清楚才是本文的目的。

 

 

 

 

 

参考资料：

 

【1】计算几何：算法设计与分析周培德  清华大学出版社 2005年

【2】计算几何：算法与应用德贝尔赫（邓俊辉译）  清华大学出版社 2005年

【3】计算机图形学孙家广、杨常贵清华大学出版社 1995年