主席树 初学

    现在才开始学主席树（←弱(。・・)ノ）。不过不带修改的话代码还是很简单的嘛。。。或者说应该叫可持久化线段树？

    首先对数的区间进行离散化，这样下面的a[i]都默认为离散化以后的结果了。

    对于每个1..i开一个线段树，对于这个线段树中的每一个节点[l,r]表示1..i中在[l,r]中的数的个数。显然这n个线段树的形态大小是完全一样的。（MLE？后面解释）。

    一开始并不需要建树，只要把a[1]..a[n]一个个插入就行了。那么如何插入a[i]呢？首先给线段树i一个根节点rt[i]，区间范围是1..m（m表示a[1]..a[n]中的最大值）。显然相对于线段树i-1的根节点rt[i-1]，rt[i]多了一个数，因此sum[rt[i]]=sum[rt[i-1]]+1。令mid=(1+m)/2，然后看a[i]在[1..mid]中还是[mid+1,m]中。假设在[1..mid]中，那么显然线段树i的右子节点[mid+1,m]的内容和线段树i-1的右子节点[mid+1,m]是一模一样的，只需要一个指针过去就行了而不需要再建；然后递归建立（ls[rt])。a[i]在[mid+1,m]中也是同理的。这样每层只有一个子节点需要递归，因此对于i只需要新的logN的空间，同时插入也是logN的。

    然后是查询（x,y,k)。首先限定范围l=1,r=m，同时找到u=rt[x-1],v=rt[y]。注意到，在x-y中[1,m]内的数的个数就是sum[v]-sum[u]！换句话说对于任意u,v，它们对应的区间都是[l,r]的话，且u所在的线段树是x，v所在的线段树是y，那么x+1..y中在[l,r]中的数的个数就是sum[v]-sum[u]！因此，我们可以判断[1,m]中数的个数是否>=k，是就查询[1,(m+1)/2]，否则查询[(m+1)/2,m]。然后不断递归操作即可。显然，时间复杂度是O(logN)。

    对于修改，我们可以发现每一个线段树相当于保存一个前缀和！实际上修改+查询相当于单点修改前缀查询。那么我们可以用树状数组维护。具体不阐述了。

by lych

2016.2.11