【BZOJ 1492】 [NOI2007]货币兑换Cash

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

Input

第一行两个正整数N、S，分别表示小Y 能预知的天数以及初始时拥有的钱数。 接下来N 行，第K 行三个实数AK、BK、RateK，意义如题目中所述

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N 天的操作结束时能够获得的最大的金钱 数目。答案保留3 位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

测试数据设计使得精度误差不会超过10-7。
对于40%的测试数据，满足N ≤ 10；
对于60%的测试数据，满足N ≤ 1 000；
对于100%的测试数据，满足N ≤ 100 000；

dp+斜率优化+CDQ分治。

f[i]表示第i天后的最大获利。

f[i]=max(f[i-1],xj*ai+yj*bi)

xj,yj表示把第j天的最大获利f[j]都买成纪念券，能买到的A券和B券的数量。

设p=xj*ai+yj*bi

那么yj=-ai/bi*xj+p/bi

把（xj,yj）看成点，p是截距，就是要让一条斜率为-ai/bi的直线从无穷高的地方向下平移，第一个碰到的点(xj,yj)就是使得答案最优的点。

可以发现最优的点在之前的(xj,yj)点形成的上凸壳上，且斜率为-ai/bi的后继的边的靠左的点最优。

显然可以用splay来维护，但是CDQ分治要好写的多。

把斜率降序排序，在递归解决完(l,mid)之后，计算(l,mid)对(mid+1,r)的影响：

将(l,mid)的点建成上凸壳，因为(mid+1,r)是按照斜率降序排序的，所以只要扫一次凸壳就可以把(mid+1,r)全部更新。

注意在递归计算完(mid+1,r)之后，要按照x升序排序，因为当前的(l,r)全部算完了，他的用处就是建凸壳了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define eps 1e-9
#define M 100005
using namespace std;
double f[M];
int n,s[M];
struct data
{
	double x,y,a,b,k,rate;
	int id;
}p[M],q[M];
bool cmp(data a,data b)
{
	return a.k>b.k;
}
double Getk(int x,int y)
{
	if (!y) return -1e20;
	if (fabs(p[x].x-p[y].x)<eps) return 1e20;
	return (p[x].y-p[y].y)/(p[x].x-p[y].x);
}
void CDQ(int l,int r)
{
	if (l==r)
	{
		f[l]=max(f[l],f[l-1]);
		p[l].y=f[l]/(p[l].a*p[l].rate+p[l].b);
		p[l].x=p[l].y*p[l].rate;
		return;
	}
	int l1=l,mid=(l+r)>>1,l2=mid+1;
	for (int i=l;i<=r;i++)
		if (p[i].id<=mid) q[l1++]=p[i];
	    else q[l2++]=p[i];
    for (int i=l;i<=r;i++)
		p[i]=q[i];
	CDQ(l,mid);
	int top=0;
	for (int i=l;i<=mid;i++)
	{
		while (top>1&&Getk(s[top-1],s[top])<eps+Getk(s[top],i))
			top--;
		s[++top]=i;
	}
	s[++top]=0;
	int j=1;
	for (int i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		while (j<top&&Getk(s[j],s[j+1])+eps>p[i].k)
			j++;
		f[p[i].id]=max(f[p[i].id],p[s[j]].x*p[i].a+p[s[j]].y*p[i].b);
	}
	CDQ(mid+1,r);
	l1=l,l2=mid+1;
	for (int i=l;i<=r;i++)
		if ((p[l1].x<p[l2].x||l2>r)&&l1<=mid)
			q[i]=p[l1++];
	    else q[i]=p[l2++];
	for (int i=l;i<=r;i++)
		p[i]=q[i];
}
int main()
{
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf%lf%lf",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].rate);
		p[i].k=-p[i].a/p[i].b;
		p[i].id=i;
	}
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	CDQ(1,n);
	printf("%.3lf\n",f[n]);
	return 0;
}