hdu 2993 斜率优化 dp 入门学习
题意：给你一段长度为n的数列, 求其长度不小于 K 的平均值最大的子串。
解析：抄的解析http://www.docin.com/p-469236754.html 例二
[分析]
简单的枚举算法可以这样描述：每次枚举一对满足条件的(a, b)，即a≤b-F+1，检查ave(a, b)，并更新当前最大值。
然而这题中N很大，N2的枚举算法显然不能使用，但是能不能优化一下这个效率不高的算法呢？答案是肯定的。
目标图形化
首先一定会设序列ai的部分和：Si=a1+a2+…+ai，，特别的定义S0=0。
这样可以很简洁的表示出目标函数！
如果将S函数绘在平面直角坐标系内，这就是过点Sj和点Si-1直线的斜率！
于是问题转化为：平面上已知N+1个点，Pi(i, Si)，0≤i≤N，求横向距离大于等于F的任意两点连线的最大斜率。
构造下凸折线
有序化一下，规定对i<j，只检查Pj向Pi的连线，对Pi不检查与Pj的连线。也就是说对任意一点，仅检查该点与在其前方的点的斜率。于是我们定义点Pi的检查集合为
Gi = {Pj, 0≤j≤i-F}
特别的，当i<F时，Gi为空集。
其明确的物理意义为：在平方级算法中，若要检查ave(a, b)，那么一定有Pa∈Gb；因此平方级的算法也可以这样描述，首先依次枚举Pb点，再枚举Pa∈Gb，同时检查k(PaPb)。
若将Pi和Gi同时列出，则不妨称Pi为检查点，Gi中的元素都是Pi的被检查点。
当我们考察一个点Pt时，朴素的平方级算法依次选取Gt中的每一个被检查点p，考察直线pPt的斜率。但仔细观察，若集合内存在三个点Pi, Pj, Pk，且i<j<k，三个点形成如下图所示的的关系，即Pj点在直线PiPk的上凸部分：k(Pi, Pj)>k(Pj, Pk)，就很容易可以证明Pj点是多余的。
图 2
若k(Pt, Pj) > k(Pt, Pi)，那么可以看出，Pt点一定要在直线PiPj的上方，即阴影所示的1号区域。同理若k(Pt, Pj) > k(Pt, Pk)，那么Pt点一定要在直线PjPk的下方，即阴影所示的2号区域。
综合上述两种情况，若PtPj的斜率同时大于PtPi和PtPk的，Pt点一定要落在两阴影的重叠部分，但这部分显然不满足开始时t>j的假设。于是，Pt落在任何一个合法的位置时，PtPj的斜率要么小于PtPi，要么小于PtPk，即不可能成为最大值，因此Pj点多余，完全可以从检查集合中删去。
这个结论告诉我们，任何一个点Pt的检查集合中，不可能存在一个对最优结果有贡献的上凸点，因此我们可以删去每一个上凸点，剩下的则是一个下凸折线。最后需要在这个下凸折线上找一点与Pt点构成的直线斜率最大——显然这条直线是在与折线相切时斜率最大，如图所示。
图 3
维护下凸折线
这一小节中，我们的目标是：用尽可能少的时间得到每一个检查点的下凸折线。
算法首先从PF开始执行：它是检查集合非空的最左边的一个点，集合内仅有一个元素P0，而这显然满足下凸折线的要求，接着向右不停的检查新的点：PF+1, PF+2, …, PN。
检查的过程中，维护这个下凸折线：每检查一个新的点Pt，就可以向折线最右端加入一个新的点Pt-F，同时新点的加入可能会导致折线右端的一些点变成上凸点，我们用一个类似于构造凸包的过程依次删去这些上凸点，从而保证折线的下凸性。由于每个点仅被加入和删除一次，所以每次维护下凸折线的平摊复杂度为O(1)，即我们用O(N)的时间得到了每个检查集合的下凸折线。
最后的优化：利用图形的单调性
最后一个问题就是如何求过Pt点，且与折线相切的直线了。一种直接的方法就是二分，每次查找的复杂度是O(log2N)。但是从图形的性质上很容易得到另一种更简便更迅速的方法：由于折线上过每一个点切线的斜率都是一定的[1]，而且根据下凸函数斜率的单调性，如果在检查点Pt时找到了折线上的已知一个切点A，那么A以前的所有点都可以删除了：过这些点的切线斜率一定小于已知最优解，不会做出更大的贡献了。
于是另外保留一个指针不回溯的向后移动以寻找切线斜率即可，平摊复杂度为为O(1)。
至此，此题算法时空复杂度均为O(N)，得到了圆满的解决。
[1] 由于折线没有连续性，因此更准确的应该说，过每一个点切线斜率的范围都一定的。