简介(二)

Alpha-Beta 搜索

浅的裁剪

　

　　 假设你用最小-最大搜索(前面讲到的)来搜索下面的树：

　

　

　　你搜索到F，发现子结点的评价分别是11、12、7和9，在这层是棋手甲走，我们希望他选择最好的值，即12。所以，F的最小-最大值是12。

　　现在你开始搜索G，并且第一个子结点就返回15。一旦如此，你就知道G的值至少是15，可能更高(如果另一个子结点比G更好)。这就意味着我们不指望棋手乙走G这步了，因为就棋手乙看来，F的评价12要比G的15(或更高)好，因此我们知道G不在主要变例上。我们可以裁剪(Prune)结点G下面的其他子结点，而不要对它们作出评价，并且立即从G返回，因为对G作更好的评价只是浪费时间。

　　一般来说，像G一样只要有一个子结点返回比G的兄弟结点更好的值(对于结点G要走棋的一方而言)，就可以进行裁剪。

　

深的裁剪

　

　　 我们来讨论更复杂的可能裁剪的情况。例如在同一棵搜索树中，我们评价的G、H和I都比12好，因此12就是结点B的评价。现在我们来搜索结点C，在下面两层我们找到了评价为10的结点N：

　

　

　　我们能用更为复杂的路线来作裁剪。我们知道N会返回10或更小(轮到棋手乙走棋，需要挑最小的)。我们不知道J能否返回10或更小，也不知道J的哪个子结点会更好。如果从J返回到C的是10或者更小的值，那么我们可以在结点C上作裁剪，因为它有更好的兄弟结点B。因此在这种情况下，继续找N的子结点就毫无意义。考虑其他情况，J的其他子结点返回比10更好的值，此时搜索N也是毫无意义的。所以我们只要看到10，就可以放心地从N返回。

　

Alpha-Beta 的伪代码

　

　　 一般来说，如果返回值比偶数层的兄弟结点好，我们就可以立即返回。如果我们在搜索过程中，把这些兄弟结点的最小值Beta作为参数来传递，我们就可以进行非常有效的裁剪。我们还用另一个参数Alpha来保存奇数层的结点。用这两个参数来进行裁剪是非常有效的，代码就写在下边。像上次一样，我们用负值最大(Negamax)的形式，即搜索树的层数改变时取负值。

    double alphabeta(int depth, double alpha, double beta) {
    　if (depth <= 0 || 棋局结束) {
    　　return evaluation();
    　}
    　就当前局面，生成并排序一系列着法;
    　for (每个着法 m) {
    　　执行着法 m;
    　　double val = -alphabeta(depth - 1, -beta, -alpha);
    　　撤消着法 m;
    　　if (val >= beta) {
    　　　return val;
    　　}
    　　if (val > alpha) {
    　　　alpha = val;
    　　}
    　}
    　return alpha;
    }

　　下次我们会解释为什么排序这一步是很重要的。

　

期望搜索

　

　　 在根结点上我们如何为Alpha和Beta设定初值？

　　Alpha和Beta定义了一个评价的实数区间(Alpha, Beta)，这个区间是我们“感兴趣的”。如果某值比Beta大我们就会做裁剪并立即返回，因为我们知道它不是主要变例的一部分，我们对它的准确值不感兴趣，只需要知道它比Beta大。如果某值比Alpha小，我们不作裁剪，但是仍然对它不感兴趣，因为我们知道搜索树里肯定有一个着法会更好。

　　但是在搜索树的根结点，我们不知道感兴趣的评价是在哪个范围内，如果我们要保证不会因为意外而裁剪掉重要的部分，我们就设Alpha = -Infinity，Beta = Infinity(无穷大)。

　　但是，如果我们使用迭代加深，就可能有办法知道主要变例是怎么样的。假设我们猜其值为x(例如x就是前一次搜索到D -1深度时的值)，并设Epsilon为一个很小的值，它代表从D -1深度到D深度搜索评价的期望变化范围。我们可以尝试调用alphabeta(D,x - Epsilon,x + Epsilon)，那么可能发生三种情况：

　　(1) 搜索的返回值会落在区间(x - Epsilon,x + Epsilon)内。这种情况下，我们知道它返回的是正确值，我们就能放心地选择这个着法，在搜索树中这个着法指向具有返回值的那个结点。

　　(2) 搜索会返回一个值v> x + Epsilon。这种情况下，我们知道搜索结果也至少是 x + Epsilon，但是我们不知道它到底是几(正确的主要变例可能被裁剪掉了，因为我们看到有别的着法的值大于Beta)。我们必须把我们所猜的值x调整得更高，然后再试一次(可能还要用更大的Epsilon)。这种情况称为“高出边界”(Fail High)。

　　(3) 搜索会返回一个值v< x - Epsilon。这种情况下，我们知道搜索结果也最多是 x + Epsilon，但是我们不知道它到底是几。我们必须把我们所猜的值x调整得更低，然后再试一次(可能还要用更大的Epsilon)。这种情况称为“低出边界”(Fail Low)。

　　即便有两种可能失败的情况，使用期望搜索(用一个比(-Infinity, Infinity)更小的区间(Alpha, Beta))总体来说效率会有所提高，因为它作了更多的裁剪。

　

分析

　

　　 让我们对Alpha-Beta搜索作一下分析，来知道它为什么是个很有用的算法。跟普通的算法不同，我们采用“Beta情况的分析”，即假设任何可能的情况下都会发生Alpha-Beta裁剪。下一次我们会知道如何让Alpha-Beta搜索接近我们的所分析的情况。在这里我只考虑浅的裁剪，因为它会让分析变得更加简单。

　　在最好的情况下，除了主要变例上的结点不会裁剪外(如果这个结点也被裁剪了，那么整个算法会高出边界或低出边界，这当然不是最好的情况)，在裁剪前，深D-1层的每个结点只会搜索一个深D层的子结点。

　　但是在深D -2层时，谁也没有被裁剪，因为所有的子结点都返回大于或等于Beta的值，而D -2层是要取负数，因此它们都小于或等于Alpha。

　　继续朝树根走，D -3层的每个结点(除了主要变例外)都被裁剪，而D -4层谁也没被裁剪，等等。

　　因此，如果搜索树的分枝因子是B，那么在搜索树一半的深度上，结点以因子B作增长，而在另一半的深度上则保持不变(我们忽略了主要变例)。所以这个搜索树所有要搜索的结点数，粗略地写成B^D/2 = sqrt(B)^D。因此Alpha-Beta搜索最终可以将分枝因子减少为原来的平方根那么多，因此它可以让我们搜索原来两倍的深度。正因为这个原因，它是所有基于最小-最大策略的棋类对弈程序的最重要的算法。

　　【译注：原作者一开始提到的“浅的裁剪”和“深的裁剪”这两个概念，实际上包含了 Alpha-Beta 搜索的两个层次，前者只是用过传递参数 Beta 对搜索树作了部分裁剪，可以称为 Beta 搜索，而后者增加一个传递参数 Alpha ，使得裁剪更加充分，这就形成了 Alpha-Beta 搜索。

　　 Beta 搜索的伪代码是：

　

double alphabeta(int depth, double beta) {

　if (depth <= 0 || 棋局结束) {

　　return evaluation();

　}

　就当前局面，生成并排序一系列着法;

　double alpha = -infty;

　for (每个着法 m) {

　　执行着法 m;

　　double val = -alphabeta(depth - 1, -alpha);

　　撤消着法 m;

　　if (val >= beta) {

　　　return val;

　　}

　　if (val > alpha) {

　　　alpha = val;

　　}

　}

　return alpha;

}

　

对红色部分加一些改进，就变成 Alpha-Beta 搜索的伪代码了。】