树状数组模板区间更新 区间询问

14、树状数组
（1）、单点增减+区间求和
思路：C[x]表示该点的元素:sum(x)=C[1]+C[2]+……C[x]

int arr[MAXN];
inline int sum(int x){int res=0;while(x)res+=arr[x],x-=lowbit(x);return res;}
inline void add(int x,int n){while(x<MAXN)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}
inline int query(int x,int y){return sum(y)-sum(x-1);}

（2）、区间增减+单点查询
思路：C[x]表示该点元素与左边元素的差值:num[x]=C[1]+C[2]+……C[x]

int arr[MAXN]
inline int sum(int x){int res=0;while(x)res+=arr[x],x-=lowbit(x);return res;}
inline void add(int x,int n){while(x<MAXN)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}
inline int update(int x,int y,int n){add(x,n);add(y+1,-n);}

（3）、区间增减+区间查询
思路：C1[x]表示该点元素与左边的差值，C2[x]表示的是x*C[x]

sum(sum(C[j],j<=i)i<=x)
= x*C[1]+(x-1)*C[2]+……+C[x]
=(x+1)*sum(C[i],i<=x)-sum(i*C[i],i<=x);

则可以想到用C1[x]维护C[x]的值,C2[x]维护x*C[X]的值

template <typename X>
struct tree_array{
    struct tree_array_single{
        X arr[MAXN];
        void add(int x,X n){while(x<=N)arr[x]+=n,x+=lowbit(x);}
        X sum(int x){X sum=0;while(x)sum+=arr[x],x-=lowbit(x);return sum;}
    }T1,T2;
    void reset(){CLR(T1.arr,0); CLR(T2.arr,0);}
    void add(int x,X n){T1.add(x,n);T2.add(x,x*n);}
    void update(int L,int R,int n){add(L,n);add(R+1,-n);}
    X sum(int x){return (x+1)*T1.sum(x)-T2.sum(x);}
    X query(int L,int R){return sum(R)-sum(L-1);}
};

15、多维树状数组
①单点增减（add） + 矩形求和（query） 
②矩形增减（update） + 单点求值（sum）

int arr[MAXN][MAXN]
inline void add(int x,int y,int n) {
    for(int i=x;i<MAXN;i+=lowbit(i))
        for(int j=y;j<MAXN;j+=lowbit(j))
            arr[i][j]+=n;
}
inline int sum(int x,int y){
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
            res+=arr[i][j];
    return res;
}
inline int query(int L,int B,int R,int T) {
    return sum(R,T)+sum(L-1,B-1)-sum(R,B-1)-sum(L-1,T);
}
inline void update(int L,int B,int R,int T,int n){
	update(L,B,n);update(L,T+1,n);update(R+1,B,n);update(R+1,T+1,n);
}

③矩形增减（update）+ 矩形求和（query）

template<typename X>
class tree_array{
    struct tree_array_single{
        X arr[MAXN][MAXN];
        void add(int x,int y,X n){
            for(int i=x; i<MAXN; i+=lowbit(i))
                for(int j=y; j<MAXN; j+=lowbit(j))
                    arr[i][j]+=n;
        }
        X sum(int x,int y){
            X res=0;
            for(int i=x; i; i-=lowbit(i))
                for(int j=y; j; j-=lowbit(j))
                    res+=arr[i][j];
            return res;
        }
    } T1,T2,T3,T4;
    void add(int x,int y,int n){
        T1.add(x,y,n);T2.add(x,y,y*n);T3.add(x,y,x*n);T4.add(x,y,x*y*n);
    }
    X sum(int x,int y){
	return (x+1)*(y+1)*T1.sum(x,y)-(x+1)*T2.sum(x,y)-(y+1)*T3.sum(x,y)+T4.sum(x,y);}
public:
    void init(){CLR(T1.arr,0);CLR(T2.arr,0);CLR(T3.arr,0);CLR(T4.arr,0);}
    void update(int L,int B,int R,int T,int n){
        add(L,B,n);add(L,T+1,-n);add(R+1,B,-n);add(R+1,T+1,n);
    }
    X query(int L,int B,int R,int T){
        return sum(R,T)-sum(L-1,T)-sum(R,B-1)+sum(L-1,B-1);
    }
};

④单点增减（add） + 立方体求和（query）
⑤立方体增减（update） + 单点求值（sum）

int arr[MAXN][MAXN][MAXN];
inline int sum(int x,int y,int z){
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
            for(int k=z;k;k-=lowbit(k))
                res^=arr[i][j][k];
    return res;
}
inline void add(int x,int y,int z,int n){ 
    for(int i=x;i<MAXN;i+=lowbit(i))
        for(int j=y;j<MAXN;j+=lowbit(j))
            for(int k=z;k<MAXN;k+=lowbit(k))
                arr[i][j][k]+=n;
}
inline void update(int x1,int y1,int z1,int x2,int y2,int z2,int n){
add(x1,y1,z1,n);
add(x2+1,y1,z1,-n);add(x1,y2+1,z1,-n);add(x1,y1,z2+1,-n);
add(x2+1,y2+1,z1,n);add(x2+1,y1,z2+1,n);add(x1,y2+1,z2+1,n);
add(x2+1,y2+1,z2+1,-n);
}
inline int query(int x1,int y1,int z1,int x2,int y2,int z2){
	return sum(x2,y2,z2)
	-sum(x2,y2,z1-1)-sum(x2,y1-1,z2)-sum(x1-1,y2,z2)
	+sum(x2,y1-1,z1-1)+sum(x1-1,y2,z1-1)+sum(x1-1,y1-1,z2)
	-sum(x1-1,y1-1,z1-1);
}

⑥立方体增减（update） + 立方体求和（query）///随便写写……复杂度较高

template<typename X>
class tree_array_Cube{
    struct tree_array_single{
        X arr[MAXN][MAXN][MAXN];
        X sum(int x,int y,int z){
            X res=0;
            for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
                for(int j=y;j;j-=lowbit(j))
                    for(int k=z;k;k-=lowbit(k))
                        res+=arr[i][j][k];
            return res;
        }
        void add(int x,int y,int z,X n){
            for(int i=x;i<MAXN;i+=lowbit(i))
                for(int j=y;j<MAXN;j+=lowbit(j))
                    for(int k=z;k<MAXN;k+=lowbit(k))
                        arr[i][j][k]+=n;
        }
    }T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8;
    void add(int x,int y,int z,X n){
        T1.add(x,y,z,n);
        T2.add(x,y,z,x*n);T3.add(x,y,z,y*n);T4.add(x,y,z,z*n);
        T5.add(x,y,z,x*y*n);T6.add(x,y,z,y*z*n);T7.add(x,y,z,x*z*n);
        T8.add(x,y,z,x*y*z*n);
    }
    X sum(int x,int y,int z){
        return (x+1)*(y+1)*(z+1)*T1.sum(x,y,z)
        -(y+1)*(z+1)*T2.sum(x,y,z)-(x+1)*(z+1)*T3.sum(x,y,z)-(x+1)*(y+1)*T4.sum(x,y,z)
        +(z+1)*T5.sum(x,y,z)+(x+1)*T6.sum(x,y,z)+(y+1)*T7.sum(x,y,z)-T8.sum(x,y,z);
    }
public:
    void init(){
        CLR(T1.arr,0);CLR(T2.arr,0);CLR(T3.arr,0);CLR(T4.arr,0);
        CLR(T5.arr,0);CLR(T6.arr,0);CLR(T7.arr,0);CLR(T8.arr,0);
    }
    void update(int x1,int y1,int z1,int x2,int y2,int z2,X n){
        add(x1,y1,z1,n);
        add(x2+1,y1,z1,-n);add(x1,y2+1,z1,-n); add(x1,y1,z2+1,-n);
        add(x2+1,y2+1,z1,n);add(x2+1,y1,z2+1,n);add(x1,y2+1,z2+1,n);
        add(x2+1,y2+1,z2+1,-n);
    }
    X query(int x1,int y1,int z1,int x2,int y2,int z2){
        return sum(x2,y2,z2)
        -sum(x2,y2,z1-1)-sum(x2,y1-1,z2)-sum(x1-1,y2,z2)
        +sum(x2,y1-1,z1-1)+sum(x1-1,y2,z1-1)+sum(x1-1,y1-1,z2)
        -sum(x1-1,y1-1,z1-1);
    }
};

16、树状数组—区间最大值

inline void init()
{
    CLR(arr,0);
    for(int i=1;i<=N;++i)
        for(int j=i;j<=N&&arr[j]<num[i];j+=lowbit(j))
            arr[j]=num[i];
}
inline int query(int L,int R)
{
    int res=0;
    for(--L;L<R;){
        if(R-lowbit(R)>=L){res=max(res,arr[R]);R-=lowbit(R);}
        else{res=max(res,num[R]);--R;}
    }
    return res;
}
inline void update(int x,int val)
{
    int ori=num[x];
    num[x]=val;
    if(val>=ori)
        for(int i=x;i<=N&&arr[i]<val;i+=lowbit(i))
            arr[i]=val;
    else{
        for(int i=x;i<=N&&arr[i]==ori;i+=lowbit(i))
        {
            arr[i]=val;
            for(int j=lowbit(i)>>1;j;j>>=1)
                arr[i]=max(arr[i],arr[i-j]);
        }
    }
}