skip list

跳跃表(skip list)是1987年才诞生的一种崭新的数据结构，它在进行查找，插入，删除等操作时的时间复杂度均为O(log n)，有着近乎代替平衡树的本领。而且最重要的一点，就是它的编程复杂度较同类的AVL树，红黑树等要低很多，这使得其无论是在理解还是在推广性上，都有着十分明显的优势。

    跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件：每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞。S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合，即：

    一个跳跃表，应该具有以下特征：

    1. 一个跳跃表应该有几个层(level)组成；

    2. 跳表的第一层包含所有的元素；

    3. 每一层都是一个有序链表

    4. 如果元素X出现在第 i 层， 则所有比 i 小的层都包含X;

    5. 第 i 层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；

　６.在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX);

    7. Top 指针指向最高层的第一个元素。

构造有序链表：

    

skip list构造步骤：

    1. 给定一个有序的链表；

    2. 选择链表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法随机选择出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。

    3. 为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。 Top指针指向该层首元素。

     4. 重复2，3步， 直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。

一、 查找

    目的： 在跳跃表中查找一个元素X

    在跳跃表中查找一个元素x, 按照如下几个步骤进行：

    1. 从最上层的链(Sh) 的开头开始：

    2. 假设当前位置为p, 它向右指向的节点为q（p与q 不一定相邻）， 且q 的值为y。将y与x作比较

    （1） x=y 输出查询成功及相关信息

    （2） x > y 从p 向右移动到q的位置

    （3）x < y 从p 向下移动一格

 3. 如果当前位置在最底层的链中（S0）,且还要往下移动的话，则输出查询失败。

二、 插入

    目的： 向跳跃表中插入一个元素x

    首先明确， 向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一个位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。

    关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。

    而插入列的"高度"较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。 由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法(Randomized Algorithms)。

    我们定义一个随机决策模块， 它的大致内容如下：

     产生一个0到1的随机数r     r ← random() 
     如果r小于一个常数p，则执行方案A，  if  r<p then do A 
     否则，执行方案B         else do B 
     初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。

     我们来看一个例子：

     假设 当前我们插入元素"40", 且在执行了随机决策模块后得到高度为4

     步骤一： 找到表中比40小的最大的数，确定插入位置

    

步骤二： 插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构：

    

三， 删除

    目的： 从跳跃表中删除一个元素x

    删除操作分为以下三个步骤：

    在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出

    将该元素所在整列从表中删除，

    将多余的“空链”删除

相关资料：

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_60707c0f0100wudj.html

    http://www.cppblog.com/mysileng/archive/2013/04/06/199159.html

    http://my.oschina.net/hncscwc/blog/391909