中国邮递员问题CPP

问题描述：Chinese poster-man  problem,简称CPP，给出一张连通图，问经过每条边至少一次且起点和终点相同，所需走的最小路程。

无向图CPP

1.考虑当所有点度数均为偶数时，该图是欧拉图，因此任意一条欧拉回路都是答案

2.当有两个点是奇度点的时候，只需找到这两点间的最短路径，将最短路径上的边计入到原图中，这是得到了一张欧拉图（poj 1237 The Postal Worker Rings Once）

3.当奇度点个数大于2时，需要使每个点的度数均变为偶数，即在2n个点之间连n条路，于是变为了无向图的最小匹配问题（KM算法时错误的，因为无法保证解的正确性，带花树开花算法是正确的），一般采用状压dp解决该问题。（poj 2404 Jogging Trails）

对于每个奇度点，用一个二进制位表示，1代表尚未匹配，0代表已经匹配，寻找当前状态下尚未匹配的两点匹配同时更新状态，然后利用记忆化搜索寻找最优解。

import java.io.IOException;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	int dgr[] = new int[20];
	int map[][] = new int[20][20], inf = 1 << 28;
	Scanner scan = new Scanner(System.in);
	void floyd(int n) {
		for (int k = 1; k <=n; k++)
			for (int i = 1; i <=n; i++)
				for (int j = 1; j <=n; j++)
					map[i][j] = Math.min(map[i][j], map[i][k] + map[k][j]);
	}
	int stack[]=new int[20],top;
	int dp[]=new int[1<<17];
	int dfs(int s){
		if(s==0)
			return 0;
		if(dp[s]!=-1)
			return dp[s];
		int res=inf,i=0;
		while((s&(1<<i))==0) i++;
		for(int j=i+1;j<top;j++)
		if((s&(1<<j))!=0){
			int temp=dfs(s-(1<<i)-(1<<j))+map[stack[i]][stack[j]];
			res=Math.min(res, temp);
		}
		return dp[s]=res;
	}
	void run() {
		while (true) {
			int n = scan.nextInt();
			if (n == 0)
				break;
			int m = scan.nextInt();
			Arrays.fill(dgr, 0);
			for (int i = 0; i < 20; i++)
				Arrays.fill(map[i], inf);
			int sum = 0;
			while (m-- > 0) {
				int a = scan.nextInt();
				int b = scan.nextInt();
				int c = scan.nextInt();
				map[b][a]=map[a][b] = Math.min(map[a][b], c);
				sum += c;
				dgr[a]++;
				dgr[b]++;
			}
			floyd(n);
			top=0;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(dgr[i]%2==1)
					stack[top++]=i;
			Arrays.fill(dp, -1);
			sum+=dfs((1<<top)-1);
			System.out.println(sum);
		}
	}
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		new Main().run();
	}
}

有向图CPP：

与无向图相同，都是试图用最小花费构造欧拉路，首先计算每个点的出度和入度的差d（v）,然后利用最小费用流求解即可，构图如下：

1 其顶点集为图G 的所有顶点，以及附加的超级源s和超级汇t ；
2 对于图G 中每一条边(u ,v )，在N 中连边(u ,v )，容量为inf，费用为该边的长度；
3 从源点s 向所有d (v) <0的顶点v 连边(s,v)，容量为-d (v)，费用为0；
4 从所有d (v) > 0的顶点u 向汇点t 连边(u ,t)，容量为d (v )，费用为0。

混合图CPP：

如果部分街道能够双向通行，部分街道只能单向通行。这个问题已被证明是NPC的。