[HDU 1402]A * B Problem Plus(FFT)

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402

题目大意

高精度乘法，两个乘数的长度均 <=50000

思路

高精度乘法的过程和多项式乘法具有惊人的相似性，同样的，高精度乘法的暴力做法和暴力的多项式乘法一样，也是 O(n2)
观察到暴力的高精度乘法为了优化，可以在做完双重循环之后再一并取模，因此我们可以优化前面的双重循环过程，最后再进行取模。前面的双重循环过程，和暴力多项式乘法基本上是一样的，因此我们可以用FFT将高精度乘法优化到 O(nlogn) 。将两个数字 a、b 均看成是最高次为 len(a)−1,len(b)−1 的两个多项式，然后在多项式中的 xi 前面的系数就是这个数的第 i+1 位上的数字。
可以算是FFT模板水题吧。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <complex>
#include <cmath>

#define MAXN 201000
#define PI 3.1415926535897384626

using namespace std;

typedef complex<double> Complex;

void reverse(Complex a[],int n) //对长度为n的复数序列a进行区间反转
{
    for(int i=1,j=n/2,k;i<n-1;i++) //!!!!!
    {
        if(i<j) swap(a[i],a[j]);
        k=n/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k>>=1;
        }
        if(j<k) j+=k;
    }
}

void FFT(Complex a[],int n,int flag) //对长为n的复数序列a做FFT，flag=1是求值，flag=-1是插值
{
    reverse(a,n);
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        Complex wn=Complex(cos(PI/i),flag*sin(PI/i));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
        {
            Complex w=Complex(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) //!!!!!
            {
                Complex x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(flag==-1) //这是插值操作，还要乘上1/n的系数
        for(int i=0;i<n;i++)
            a[i]=Complex(a[i].real()/n,a[i].imag());
}

char stra[MAXN],strb[MAXN];
int lena,lenb;
Complex a[MAXN],b[MAXN];
int c[MAXN]; //最终的答案

int main()
{
    while(scanf("%s%s",stra,strb)!=EOF)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        lena=strlen(stra);
        lenb=strlen(strb);
        int len=lena+lenb+1;
        int N=1,k=0; //min(2^k)=min(N)>=lena+lenb+1
        for(;N<len;N<<=1,k++);
        for(int i=0;i<lena;i++)
            a[i]=Complex((int)stra[lena-1-i]-'0',0);
        for(int i=0;i<lenb;i++)
            b[i]=Complex((int)strb[lenb-1-i]-'0',0);
        FFT(a,N,1);
        FFT(b,N,1);
        for(int i=0;i<N;i++)
            a[i]=a[i]*b[i];
        FFT(a,N,-1);
        for(int i=0;i<N;i++)
            c[i]=(int)(a[i].real()+0.5);
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            c[i+1]+=c[i]/10;
            c[i]%=10;
        }
        N=lena+lenb-1;
        while(!c[N]&&N>0) N--;
        for(int i=N;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}