贝叶斯与门后奖

链式法则 P(A, B) = P(A交B) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A)

分划        P(B) = P(A, B) + P(A', B)       A'为A的补

 

贝叶斯： P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) = [P(B|A)/(sigmaP(B|X)P(X))]*P(A)； x为A ，A'

其中P(A)为先验概率， P(A|B)为当B发生后A的后验概率； P(B|A)称为A发生情况下B的likelihood

 

 

某节目， 三个门 xyz， 只有一个门后面有奖品。 选手先猜一个， 主持人去掉一个无奖品的门后，问选手， 是否重猜？

答案： 无需重猜； 中奖概率都是0.5

 

过程如下：

假设选手猜x门后有奖；   此时P(C=x) = 1/3.

主持人去掉一个无奖的门y， 此时该选手的中奖概率为 P(C=x|C!=y)； 记C=x为A， C!=y为B

即P(A|B) = [P(B|A)/(sigmaP(B|X)P(X))]*P(A)

              = [P(B|A)/(P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'))]*P(A)

              = [ 1       /( 1 * 1/3     +   1/2 * 2/3)] * 1/3

              = 1/2

 

即， 不重猜时， 中奖概率已自动上升至0.5；

当然重猜了也是0.5

 

从概率上， 重猜不会增加中奖机会