【BZOJ 2822】 [AHOI2012]树屋阶梯

2822: [AHOI2012]树屋阶梯

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Description

暑假期间,小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄,训练的第 一个晚上,教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重,必须选择在高处的 树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为 N+1 尺( N 为正整数)的大树上, 正当他发愁怎么爬上去的时候,发现旁边堆满了一些空心四方钢材(如图 1.1 ), 经过观察和测量,这些钢材截面的宽和高大小不一,但都是 1 尺的整数倍,教官 命令队员们每人选取 N 个空心钢材来搭建一个总高度为 N 尺的阶梯来进入树屋, 该阶梯每一步台阶的高度为 1 尺,宽度也为 1 尺。如果这些钢材有各种尺寸,且 每种尺寸数量充足,那么小龙可以有多少种搭建方法?(注:为了避免夜里踏空, 钢材空心的一面绝对不可以向上。)
【BZOJ 2822】 [AHOI2012]树屋阶梯_第1张图片

   以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例,小龙一共有如图1.2所示的5

   搭 建方法:

   【BZOJ 2822】 [AHOI2012]树屋阶梯_第2张图片

Input

一个正整数 N(1N500),表示阶梯的高度

Output

一个正整数,表示搭建方法的个数。(注:搭建方法个数可能很大。)

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  N500


卡塔兰数+python高精度~


wikipedia原题。


说一下证明:

【BZOJ 2822】 [AHOI2012]树屋阶梯_第3张图片

先理解一下题意,因为对角线上有n个“突起”,因此至少n个才能覆盖。


为什么满足卡塔兰数?


用归纳法证明:

枚举最上角的方格分别和哪个“突起”属于同一矩形,一共n种情况,每种情况都把大台阶分成两个小台阶(可能为0)i,n-1-i,这就是卡塔兰数的递推公式了~


def Fac(n):
    ans=1
    for i in range(2,n+1):
	ans*=i
    return ans
n=raw_input()
n=int(n)
print Fac(2*n)//Fac(n+1)//Fac(n)


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