POJ3468 A Simple Problem with Integers 线段树|树状数组BIT(区间增减,求和)

A Simple Problem with Integers
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Total Submissions: 75499   Accepted: 23268
Case Time Limit: 2000MS

Description

You have N integers, A1A2, ... , AN. You need to deal with two kinds of operations. One type of operation is to add some given number to each number in a given interval. The other is to ask for the sum of numbers in a given interval.

Input

The first line contains two numbers N and Q. 1 ≤ N,Q ≤ 100000.
The second line contains N numbers, the initial values of A1A2, ... , AN. -1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000.
Each of the next Q lines represents an operation.
"C a b c" means adding c to each of AaAa+1, ... , Ab. -10000 ≤ c ≤ 10000.
"Q a b" means querying the sum of AaAa+1, ... , Ab.

Output

You need to answer all Q commands in order. One answer in a line.

Sample Input

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

Sample Output

4
55
9
15

Hint

The sums may exceed the range of 32-bit integers.
方法不唯一:
线段树:区间修改,区间求和。
用add做标记,Lazy思想。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=100000+10;
ll sum[maxn*4],add[maxn*4];

void pushUp(int k){
    sum[k]=sum[k*2]+sum[k*2+1];
}

void pushDown(int k,int l,int r){
    if(add[k]){
        int lc=k*2,rc=k*2+1,m=(l+r)/2;
        add[lc]+=add[k];add[rc]+=add[k];
        sum[lc]+=add[k]*(m-l+1);
        sum[rc]+=add[k]*(r-m);
        add[k]=0;
    }
}

void build(int k,int l,int r){
    if(l==r){
        scanf("%lld",&sum[k]);
        add[k]=0;
        return ;
    }
    int m=(l+r)/2;
    build(k*2,l,m);
    build(k*2+1,m+1,r);
    pushUp(k);
}

void update(int a,int b,ll v,int k,int l,int r){
    if(a<=l && r<=b){
        add[k]+=v;sum[k]+=v*(r-l+1);return ;
    }
    pushDown(k,l,r);
    int m=(l+r)/2;
    if(a<=m)
        update(a,b,v,k*2,l,m);
    if(b>m)
        update(a,b,v,k*2+1,m+1,r);
    pushUp(k);
}

ll ask(int a,int b,int k,int l,int r){
    if(a<=l && r<=b)
        return sum[k];
    pushDown(k,l,r);
    int m=(l+r)/2;
    ll res=0;
    if(a<=m)
        res+=ask(a,b,k*2,l,m);
    if(b>m)
        res+=ask(a,b,k*2+1,m+1,r);
    pushUp(k);
    return res;
}

int main()
{
    int i,j,n,q,a,b;
    char op[3];
    scanf("%d%d",&n,&q);
    build(1,1,n);
    while(q--){
        scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
        if(op[0]=='C'){
            ll v;
            scanf("%lld",&v);
            update(a,b,v,1,1,n);
        }else{
            printf("%lld\n",ask(a,b,1,1,n));
        }
    }
    return 0;
}

线段树:发现数据的共性,还可以这么做:
对于每个节点,我们可以维护一下两个数据:
a.给这个节点对应的区间内的所有元素共同加上的值 (data)
b.在这个节点对应的区间中除去a中之外其他值的和  (datb)

/*
线段树(多数组维护)
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
typedef __int64 ll;

const int maxn=100000+10;
const int maxdata=(1<<18)-1;

int n,q;

int max(int x,int y){
	if(x>y) return x;
	return y;
}

int min(int x,int y){
	if(x<y) return x;
	return y;
}

ll data[maxdata],datb[maxdata];

void add(int a,int b,int v,int k,int l,int r){
	if(a<=l && r<=b){
		data[k]+=v;
		return ;
	}
	if(l<=b && a<=r){
		datb[k]+=(min(b,r)-max(a,l)+1)*v;
		int m=(l+r)/2;
		add(a,b,v,k*2,l,m);
		add(a,b,v,k*2+1,m+1,r);
	}
}

ll sum(int a,int b,int k,int l,int r){
	if(b<l || a>r)
		return 0;
	if(a<=l && r<=b){
		return data[k]*(r-l+1)+datb[k];
	}
	ll res=(min(b,r)-max(a,l)+1)*data[k];
	res+=sum(a,b,k*2,l,(l+r)/2);
	res+=sum(a,b,k*2+1,(l+r)/2+1,r);
	return res;
}

int main()
{
	int i,a,b,c;
	char op[3];
	while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF){
		for(i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a);
			add(i,i,a,1,1,n);
		}
		while(q--){
			scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
			if(op[0]=='C'){
				scanf("%d",&c);
				add(a,b,c,1,1,n);
			}
			else
				printf("%I64d\n",sum(a,b,1,1,n));
		}
	}
	return 0;
}

不要以为有区间修改,就想当然地想到只能用线段树的lazy思想,树状数组BIT的威力一样不小:
树状数组:
POJ3468 A Simple Problem with Integers 线段树|树状数组BIT(区间增减,求和)_第1张图片
POJ3468 A Simple Problem with Integers 线段树|树状数组BIT(区间增减,求和)_第2张图片 
请仔细好好体会。
这还可以拓展:
如果操作得到的结果可以用i的n次多项式表示,那么就可以使用n+1个树状数组来进行维护了。
即bit0维护常数,bit1维护i的系数,bit2维护i^2的系数,.....,bitn维护i^n的系数
查询的时候只需要分别在对这些bit求和并同时乘上自己对应的i^x即可

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
typedef __int64 ll;

const int maxn=100000+10;

ll bit0[maxn],bit1[maxn];
int n,q;

void add(ll *b,ll i,ll v){
	while(i<=n){
		b[i]+=v;
		i+=i&(-i);
	}
}

ll sum(ll *b,ll i){
	ll res=0;
	while(i>0){
		res+=b[i];
		i-=i&(-i);
	}
	return res;
}

int main()
{
	int i,a,b,x;
	char op[3];
	while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF){
		for(i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a);
			add(bit0,i,a);
		}
		while(q--){
			scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
			if(op[0]=='C'){
				scanf("%d",&x);
				add(bit0,a,-(x*(a-1)));
				add(bit1,a,x);
				add(bit1,b+1,-x);
				add(bit0,b+1,x*b);
			}
			else {
				ll res=0;
				res+=sum(bit0,b)+sum(bit1,b)*b;
				res-=sum(bit0,a-1)+sum(bit1,a-1)*(a-1);
				printf("%I64d\n",res);
			}
		}
	}
	return 0;
}


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