[置顶] 后缀数组·小结
智商太低，花了半个多月总算把后缀数组那篇论文的题目刷完了
写个总结方便自己以后再深入学习，也希望能够帮助正在学习后缀数组的童鞋
首先ORZ 《后缀数组——处理字符串的有力工具》-罗穗骞
本文也是依照着这篇论文，加上自己的理解。
有需要的童鞋自己去下载吧~~~
首先必须先理解一下这三个数组（len 表示 字符串长度）
- rank数组 ： i∈[0, len), rank[i]∈[1, len]; 表示初始下标为i的后缀的排名;
- sa数组 ： i∈[1, len], sa[i]∈[0, len); 表示排名为i的后缀，在母串中的首个字符的下标为sa[i];
- height数组 ： i∈[2, len], sa[i]∈[0, len); 表示排名为i的后缀和排名为i-1的后缀的公共前缀的长度;
特别需要理解的是sa数组和height数组，每每做后缀数组的题目没有思路的时候，先把sa和height数组打出来，总会发现神奇的事情发生~~
1.单个字符串的处理
1.1重复子串问题
1.1.1.可重叠最长重复子串
题意: 给你一个字符串，求最长的重复的子串，这两个子串可以重叠
思路: 打表显示height数组观察，就很容易理解了，这个重复子串的长度必然是height数组的最大值。
首先应该明白一个事实: 求最长重复子串，就等价于求两个后缀的最长公共前缀的最大值，而height数组就是保存的排名相邻的两个后缀的最长公共前缀的长度，并且后缀的排名就是按照字典序来的。所以就直接求出height数组的最大值就可以啦
1.1.2 可重叠最长重复子串
POJ 1743
http://poj.org/problem?id=1743
题意: 给你一个字符串，求出最长的重复子串，这两个重复的子串不能重叠，而且这个子串的长度要大于4
思路:
- 二分结果子串的长度k
- 判断这个长度k的子串，是否满足不重叠且重复
观察height数组，就会发现，我可以将height数组按照k值分成很多块，保证每一块中的height数组的值都不小于k，这样就可以保证如果存不可重叠最长重复的子串，那么该子串必然为这些块中某个后缀的前缀。
然后再枚举这些块，保证在这些块中的两个后缀的sa数组的距离大于等于k (sa[i] – sa[j] >= k), 依据题目这个k还必须大于4，否则输出0
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 21000
int r[maxn],sa[maxn];
int t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
int n;
void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
int i, *x = t, *y = t2;
//对r中长度为1的字串进行基数排序
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[i] = r[i]]++;
for(i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;
for(int k = 1; k <= n; k <<= 1)
{
int p = 0;
//第二关键字
for(i = n-k; i < n; i++) y[p++] = i;
for(i = 0; i < n; i++) if(sa[i] >= k) y[p++] = sa[i]-k;
//第一关键字
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
for(i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];
swap(x, y);
p = 1; x[sa[0]] = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
x[sa[i]] = y[sa[i-1]]==y[sa[i]] && y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k] ? p-1 : p++;
if(p >= n) break;
m = p;
}
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n){
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
}
bool Judge(int x)
{
int Max = sa[1], Min = sa[1];
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(height[i]<x) Max = Min = sa[i];
else
{
Max = max(Max, sa[i]);
Min = min(Min, sa[i]);
if(Max - Min >= x) return 1;
}
}
return 0;
}
void slove()
{
int ans = 0;
int l = 4, r = n/2+1, mid;
while(l <= r)
{
mid = (l + r) >> 1;
if(Judge(mid)) ans = mid, l = mid+1;
else r = mid-1;
}
if(ans < 4) puts("0");
else printf("%d\n", ans+1);
}
int main ()
{
while(scanf("%d", &n), n)
{
n--;
for(int i = 0; i <= n; i++) scanf("%d", &r[i]);
if(n < 10){puts("0"); continue;}
for(int i = 0; i < n; i++)
r[i] = r[i]-r[i+1]+90;
r[n] = 0;
da(r, sa, n+1, 256);
calheight(r, sa, n);
slove();
}
return 0;
}
1.1.3 可重叠的重复出现至少k次的最长子串
POJ 3261
http://poj.org/problem?id=3261
题意: 给你一个字符串，求重复出现至少k次的最长子串，这k个子串是可以重叠的
思路: 如果你理解了上一题POJ1743，那么这题就很好理解了。
- 首先，同样要二分结果子串的长度len
- 然后将height数组按照len来分块，只需保证每一块中的height值都大于等于len
- 那么只需要存在某一个块中的后缀数大于等于k即可
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1000100
int r[maxn],sa[maxn];
int t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
int n, k;
void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
int i, *x = t, *y = t2;
//对r中长度为1的字串进行基数排序
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[i] = r[i]]++;
for(i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;
for(int k = 1; k <= n; k <<= 1)
{
int p = 0;
//第二关键字
for(i = n-k; i < n; i++) y[p++] = i;
for(i = 0; i < n; i++) if(sa[i] >= k) y[p++] = sa[i]-k;
//第一关键字
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
for(i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];
swap(x, y);
p = 1; x[sa[0]] = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
x[sa[i]] = y[sa[i-1]]==y[sa[i]] && y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k] ? p-1 : p++;
if(p >= n) break;
m = p;
}
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n){
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
}
bool Judge(int x)
{
int cnt = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(height[i]<x) cnt = 1;
else
{
cnt++;
if(cnt >= k) return 1;
}
}
return 0;
}
void slove()
{
int ans = -1;
int l = 1, r = n, mid;
while(l <= r)
{
mid = (l + r) >> 1;
if(Judge(mid))
ans = max(ans, mid), l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
printf("%d\n", ans);
}
int main ()
{
while(scanf("%d %d", &n, &k) != EOF)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d", &r[i]);
r[i]++;
}
r[n] = 0;
da(r, sa, n+1, maxn);
calheight(r, sa, n);
slove();
}
return 0;
}
1.2 子串的个数
题目:
SPOJ 694
http://www.spoj.com/problems/DISUBSTR/
SPOJ 705
http://www.spoj.com/problems/SUBST1/
题意: 给你一个字符串，求出这个母串所有不相同的子串的个数
思路: 乍一看，感觉无从下手，还是来看sa和height数组。这个题想到就很简单，
- 首先明确，母串的某个子串必然是某个后缀的某个前缀，这样问题就转换为求所有后缀不相同的前缀数
- 可以发现，每次增加一个后缀suffix(sa[i])，就增加了len-sa[i]个子串。(len为母串长)
- 这样就有一个问题， 有些子串前面已经增加了。想想height数组就可以啦，减去height[i]不正好就减去了与前面赘余的子串了么
我开始sb的以为每次要减去2~i的所有height值，最后才想明白
705只比694范围扩大了点，就只贴一下705的代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 51000;
char str[maxn];
int r[maxn],sa[maxn];
int t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
int i, *x = t, *y = t2;
//对r中长度为1的字串进行基数排序
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[i] = r[i]]++;
for(i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;
for(int k = 1; k <= n; k <<= 1)
{
int p = 0;
//第二关键字
for(i = n-k; i < n; i++) y[p++] = i;
for(i = 0; i < n; i++) if(sa[i] >= k) y[p++] = sa[i]-k;
//第一关键字
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
for(i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];
swap(x, y);
p = 1; x[sa[0]] = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
x[sa[i]] = y[sa[i-1]]==y[sa[i]] && y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k] ? p-1 : p++;
if(p >= n) break;
m = p;
}
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n){
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
}
int main ()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%s", str);
int len = strlen(str);
for(int i = 0; i < len; i++)
r[i] = str[i] + 1;
r[len] = 0;
da(r, sa, len+1, 255);
calheight(r, sa, len);
int ans = len - sa[1] ;
for(int i = 2; i <= len; i++)
{
ans += len - sa[i] - height[i];
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
1.3 回文子串
题目:
URAL 1297
http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1297
题意: 给你一个字符串，求出最长回文子串
题解: 额，这个题一直没想好怎么用后缀数组解。
不过新学了一个Manacher算法，该算法可以实现用O(n)实现回文子串的算法;
后缀数组的解法就以后再补上吧
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define max(x,y) ((x)>(y) ? (x) : (y))
#define min(x,y) ((x)<(y) ? (x) : (y))
const int maxn = 1111;
char str[maxn];
char s[maxn*2];
int p[maxn*2];
void get_s()
{
int len = strlen(str);
s[0] = '$';
s[1] = '#';
for(int i = 0; i < len; i++)
{
s[i*2+2] = str[i];
s[i*2+3] = '#';
}
len = len*2 + 2;
s[len] = '\0';
}
void get_p()
{
int len = strlen(s);
//memset(p, 0, sizeof(p));
int id = 0, mx = 0;
for(int i = 1; i < len; i++)
{
// p[i] = mx > i ? min(p[id*2-i],mx-i) : 1;
if(mx > i)
p[i] = min(p[id*2-i],p[id]+id-i);
else
p[i] = 1;
while(s[i+p[i]] == s[i-p[i]]) p[i]++;
if(mx < p[i] + i)
{
mx = p[i] + i;
id = i;
}
}
}
int main ()
{
while(scanf("%s",str) != EOF)
{
get_s();
get_p();
int id = 0, len = strlen(s);
for(int i = 1; i < len; i++)
{
if(p[i] > p[id]) id = i;
}
for(int i = id - p[id]+1; i <= id + p[id] - 1; i++)
{
if(s[i] != '#')
printf("%c", s[i]);
}
puts("");
}
return 0;
}
1.4 连续重复子串
1.4.1 求连续重复子串，要求重复次数最大
题目:
POJ 2406
http://poj.org/problem?id=2406
题意: 给你一个字符串，并且我们知道该字符串是由某个字符串S重复R次得到，需要你求出R的最大值
题解: 学过KMP的童鞋一定做过这道题，这是KMP的一道很经典的入门题。思路也是一样。
- 先枚举字符串S的长度K，保证母串长度可以整除K，这是显而易见的嘛，不整除怎么重复R次得到呢
- 接下来就是重点了，一个串如果是由某个串重复多次得到的话，那么必然有母串和其后缀suffix(k)的最长公共前缀必然为len-k(len为母串长度)，详见下图。
如果母串str是由字符串S重复4次得到的，那么必然有母串和下面的后缀suffix(k)的最长公共前缀为len-k的话。
因为如果母串和下面的后缀suffix(k)的最长公共前缀为len-k，即S1[1]=S2[1]&&S1[2]=S2[2]&&S1[3]=S2[3]
又因为本来S1[2] = S2[1] ,S1[3] = S2[2], S1[4] = S2[3]
那么就可以推出=》 S1[1] = S1[2] = S1[3] = S1[4] 了
所以这个问题就转化为了先枚举字符串S的长度K，然后再看母串也就是后缀suffix(0)和后缀suffix(k)的最长公共前缀为不为len-k了。
![[置顶] 后缀数组·小结_第1张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/a0a0cb2982674b6c983662c588af7e15.png)
#include <stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 1000001
#define INF 999999999
#define MAX(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define MIN(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
int r[maxn*3],sa[maxn*3];
int ans[maxn];
char str[maxn*3];
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
int wa[maxn],wb[maxn],wv[maxn],ws[maxn];
int c0(int *r,int a,int b)
{return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];}
int c12(int k,int *r,int a,int b)
{if(k==2) return r[a]<r[b]||r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1);
else return r[a]<r[b]||r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1];}
void Sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m)
{
int i;
for(i=0;i<n;i++) wv[i]=r[a[i]];
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[wv[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) b[--ws[wv[i]]]=a[i];
return;
}
void dc3(int *r,int *sa,int n,int m) // r为待匹配数组 n为总长度 m为字符范围
{
int i,j,*rn=r+n,*san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p;
r[n]=r[n+1]=0;
for(i=0;i<n;i++) if(i%3!=0) wa[tbc++]=i;
Sort(r+2,wa,wb,tbc,m);
Sort(r+1,wb,wa,tbc,m);
Sort(r,wa,wb,tbc,m);
for(p=1,rn[F(wb[0])]=0,i=1;i<tbc;i++)
rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++;
if(p<tbc) dc3(rn,san,tbc,p);
else for(i=0;i<tbc;i++) san[rn[i]]=i;
for(i=0;i<tbc;i++) if(san[i]<tb) wb[ta++]=san[i]*3;
if(n%3==1) wb[ta++]=n-1;
Sort(r,wb,wa,ta,m);
for(i=0;i<tbc;i++) wv[wb[i]=G(san[i])]=i;
for(i=0,j=0,p=0;i<ta && j<tbc;p++)
sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++];
for(;i<ta;p++) sa[p]=wa[i++];
for(;j<tbc;p++) sa[p]=wb[j++];
return;
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n) // 求height数组。
{
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
return;
}
int f[maxn];
void fun(int n)
{
int minn = INF;
int j = Rank[0];
for(int i = j ; i >= 1; i--)
{
f[i] = minn;
minn = MIN(minn, height[i]);
}
minn = INF;
for(int i = j+1; i <= n; i++)
{
minn = MIN(minn, height[i]);
f[i] = minn;
}
}
int main()
{
while(scanf("%s",str)!=EOF)
{
int n=strlen(str);
if(!strcmp(str, ".")) break;
for(int i = 0; i < n; i++)
r[i] = str[i] - 'a' + 1;
r[n] = 0;
dc3(r,sa,n+1,256);//千万注意+1
calheight(r,sa,n);
fun(n);
for(int k = 1; k <= n; k++)
{
if(n % k == 0 && f[Rank[k]] == n-k)
{
if(n / k == 0) puts("1");
else printf("%d\n", n/k);
break;
}
}
}
return 0;
}
2.两个字符串的处理
后缀数组处理两个字符串的时，一般都是将两个串拼接为一个串，中间用一个不属于两个串的字符代替，比如'#'、'@'、'!'等等。当然这种方法还适用于用后缀数组进行多个字符串处理的问题
2.1 求两个字符串的最长公共子串
题目:
1.HDU 1403 Longest Common Substring
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1403
http://poj.org/problem?id=2774
3.URAL 1517 Freedom of Choice
http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1517
那么要求A、B字符串的最长公共子串,就是比较A的所有后缀和B的所有后缀最长公共前缀
枚举时间复杂度太高。利用后缀数组，我们可以先将两个字符串拼接起来，这样就可以很明显的发现height数组的最大值就是所求
当然同时要满足，构成这个height[i]的前后两个后缀分别是属于A或B
如果还不明白，可以对照下图思考。(图片来源于《后缀数组——处理字符串的有力工具》)
字符串A = “aaaba” B = “abaa”
![[置顶] 后缀数组·小结_第2张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/581af6b146034843820ae8cc8c1a166c.jpg)
1.HDU 1403 Longest Common Substring
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1403
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 210000
char str[maxn];
int r[maxn],sa[maxn];
int t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
int i, *x = t, *y = t2;
//对r中长度为1的字串进行基数排序
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[i] = r[i]]++;
for(i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;
for(int k = 1; k <= n; k <<= 1)
{
int p = 0;
//第二关键字
for(i = n-k; i < n; i++) y[p++] = i;
for(i = 0; i < n; i++) if(sa[i] >= k) y[p++] = sa[i]-k;
//第一关键字
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
for(i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];
swap(x, y);
p = 1; x[sa[0]] = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
x[sa[i]] = y[sa[i-1]]==y[sa[i]] && y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k] ? p-1 : p++;
if(p >= n) break;
m = p;
}
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n){
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
}
int main ()
{
while(scanf("%s", str) != EOF)
{
int len = strlen(str);
str[len] = '!';
scanf("%s", str+len+1);
int n = strlen(str);
for(int i = 0; i < n; i++)
r[i] = (int)str[i];
r[n] = 0;
// for(int i = 0; i < len ; i++) printf("%d\n", r[i]);
da(r, sa, n+1, 256); //注意必须+1
calheight(r, sa, n);
int ans = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)//注意是小于等于n 杭电数据太弱……
{
if(height[i] > ans &&((sa[i] < len && sa[i-1] > len)||(sa[i] > len && sa[i-1] < len)))
ans = height[i];
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
2.POJ 2774 Long Long Message
http://poj.org/problem?id=2774
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 200010
char str[maxn];
int r[maxn],sa[maxn];
int t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
int i, *x = t, *y = t2;
//对r中长度为1的字串进行基数排序
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[i] = r[i]]++;
for(i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;
for(int k = 1; k <= n; k <<= 1)
{
int p = 0;
//第二关键字
for(i = n-k; i < n; i++) y[p++] = i;
for(i = 0; i < n; i++) if(sa[i] >= k) y[p++] = sa[i]-k;
//第一关键字
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
for(i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];
swap(x, y);
p = 1; x[sa[0]] = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
x[sa[i]] = y[sa[i-1]]==y[sa[i]] && y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k] ? p-1 : p++;
if(p >= n) break;
m = p;
}
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n){
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
}
int main ()
{
while(scanf("%s", str) != EOF)
{
int len1 = strlen(str);
for(int i = 0; i < len1; i++)
r[i] = str[i] - 'a' + 2;
r[len1] = 1;
scanf("%s", str);
int len2 = strlen(str);
for(int i = len1+1; i < len1+len2+1; i++)
r[i] = str[i-(len1+1)] - 'a' + 2;
int n = len1 + len2 +1 ;
r[n] = 0;
da(r, sa, n+1, 30);
calheight(r, sa, n);
int ans = 0;
for(int i = 2 ; i <= n; i++)
{
if(ans < height[i] && ((sa[i-1] < len1 && sa[i] > len1)||(sa[i-1] > len1 && sa[i] < len1)))
ans = height[i];
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
3.URAL 1517 Freedom of Choice
http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1517
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 210000
#define MAX(x,y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
#define MIN(x,y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
char str[maxn];
int r[maxn],sa[maxn];
int t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
void da(int *r,int *sa,int n,int m)
{
int i, *x = t, *y = t2;
//对r中长度为1的字串进行基数排序
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[i] = r[i]]++;
for(i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;
for(int k = 1; k <= n; k <<= 1)
{
int p = 0;
//第二关键字
for(i = n-k; i < n; i++) y[p++] = i;
for(i = 0; i < n; i++) if(sa[i] >= k) y[p++] = sa[i]-k;
//第一关键字
for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for(i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
for(i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];
swap(x, y);
p = 1; x[sa[0]] = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
x[sa[i]] = y[sa[i-1]]==y[sa[i]] && y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k] ? p-1 : p++;
if(p >= n) break;
m = p;
}
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n){
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
}
int main ()
{
int n;
scanf("%d", &n);
{
scanf("%s", str);
str[n] = '@';
scanf("%s", str+n+1);
// printf("%s\n",str);
int len = strlen(str);
for(int i = 0; i < len; i++)
r[i] = int(str[i]);
r[len] = 0;
//for(int i = 0; i <= len; i++)
// printf("%d", r[i]);
da(r, sa, len+1, 256);
calheight(r, sa, len);
int ans = 0, flag = 0;
for(int i = 2; i <= len; i++)
{
if(height[i] > ans && ((sa[i] < n && sa[i-1] > n) || (sa[i] > n && sa[i-1] < n)))
{
ans = height[i];
flag = MIN(sa[i], sa[i-1]);
}
}
//printf("%d %d\n",ans, flag);
for(int i = flag; i < flag+ans; i++)
printf("%c", str[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}
2.2 求两个串公共子串的个数
题目:POJ 3415
http://poj.org/problem?id=3415
题意: 给你两个字符串A、B，求长度不小于K的公共子串的个数
思路: 思路想一想就会发现很简单，不就是把A和B所有的后缀求一下最长公共前缀么，然后再把最长公共前缀的大于等于K的个数全部加起来就行了。这里有个问题，这样弄得话就是O(n^2) 了，不过我们可以利用单调栈处理一下就ＯＫ了呀。
单调栈如果不太熟悉的话就去学习一下吧。
这里只简单举一下例子，介绍一下这道题用单调栈的思路：如果height数组是1 3 7 4 5 2 6，其中1 3 7 5 2属于A，4 6 属于B。
A: height[i] = 1时 栈为[1]
A: height[i] = 3时 栈为[1、3]
A: height[i] = 7时 栈为[1、3、7]
B: height[i] = 4时 栈为[1、3、4*2]
A: height[i] = 5时 栈为[1、3、4*2、5]
A: height[i] = 2时 栈为[1、2*5]
B: height[i] = 6时 栈为[1、2*5 、6]
也就是说当前元素的值要是大于等于栈顶元素，则直接加进去，反之，则如上面所示height = 2时 栈顶元素一直大于2，那么就直接把他们的pop掉，将他们的个数*2入栈就行了
上面的例子处理了所有排名在每一个B前面的A的后缀和这个B的最长公共前缀的长度，我们在反过来，处理一下所有排名在每一个A前面的B的后缀和这个A的最长公共前缀就是答案了。
这样的时间复杂度就直接降到了O(n)了
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 210000
typedef long long int64;
int k;
char str[maxn];
int r[maxn], sa[maxn], stk[maxn], num[maxn];
int t[maxn], t2[maxn], c[maxn];
void da(int *r, int *sa, int n, int m)
{
int i, *x = t, *y = t2;
//对r中长度为1的字串进行基数排序
for (i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for (i = 0; i < n; i++) c[x[i] = r[i]]++;
for (i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i - 1];
for (i = n - 1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;
for (int k = 1; k <= n; k <<= 1)
{
int p = 0;
//第二关键字
for (i = n - k; i < n; i++) y[p++] = i;
for (i = 0; i < n; i++) if (sa[i] >= k) y[p++] = sa[i] - k;
//第一关键字
for (i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
for (i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
for (i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i - 1];
for (i = n - 1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];
swap(x, y);
p = 1; x[sa[0]] = 0;
for (i = 1; i < n; i++)
x[sa[i]] = y[sa[i - 1]] == y[sa[i]] && y[sa[i - 1] + k] == y[sa[i] + k] ? p - 1 : p++;
if (p >= n) break;
m = p;
}
}
int Rank[maxn], height[maxn];
void calheight(int *r, int *sa, int n){
int i, j, k = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) Rank[sa[i]] = i;
for (i = 0; i<n; height[Rank[i++]] = k)
for (k ? k-- : 0, j = sa[Rank[i] - 1]; r[i + k] == r[j + k]; k++);
}
void slove(int n, int len)
{
int64 ans = 0, sum = 0, top = 0, cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(height[i] < k) top = sum = 0;
else{
cnt = 0;
if(sa[i-1] < len){
cnt = 1;
sum += height[i] - k + 1;
}
while(top > 0 && stk[top] >= height[i])
{
sum -= num[top] * (stk[top] - height[i]);
cnt += num[top];
top--;
}
top++;
num[top] = cnt;
stk[top] = height[i];
if(sa[i] > len)
ans += sum;
}
}
top = sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(height[i] < k) top = sum = 0;
else{
cnt = 0;
if(sa[i-1] > len){
cnt = 1;
sum += height[i] - k + 1;
}
while(top > 0 && stk[top] >= height[i])
{
sum -= num[top] * (stk[top] - height[i]);
cnt += num[top];
top--;
}
top++;
num[top] = cnt;
stk[top] = height[i];
if(sa[i] < len)
ans += sum;
}
}
printf("%I64d\n", ans);
}
int main()
{
while (scanf("%d", &k), k)
{
scanf("%s", str);
int len = strlen(str);
str[len] = '!';
scanf("%s", str + len + 1);
int n = strlen(str);
for (int i = 0; i < n; i++)
r[i] = (int)str[i];
r[n] = 0;
// for(int i = 0; i < len ; i++) printf("%d\n", r[i]);
da(r, sa, n + 1, 256); //注意必须+1
calheight(r, sa, n);
slove(n, len);
}
return 0;
}
3.多个字符串的处理
和前面两个字符串的相关问题一样，都要把多个字符串连接为一个字符串，中间用一个没有在这些字符串中出现过的字符。
3.1 求存在于不小于K个字符串中的最长子串
题目:POJ 3294
http://poj.org/problem?id=3294
题意: 给你N个字符串A、B，求存在于不小于K个字符串中的最长子串
思路: 对于多个字符串的题目，一般常用的方法都是连接成一个串，二分答案，再结合height数组求解。
对于这个题目，思路其实和之前POJ1743类似，也是二分答案，再将height数组分块，然后看每一块中是否有>=K个不同的母串
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn = 101000;
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
char str[maxn];
int n, num, index[maxn], vis[maxn];
int wa[maxn], wb[maxn], wv[maxn], ws[maxn];
int c0(int *r, int a, int b){
return r[a] == r[b] && r[a + 1] == r[b + 1] && r[a + 2] == r[b + 2];
}
int c12(int k, int *r, int a, int b){
if (k == 2) return r[a]<r[b] || r[a] == r[b] && c12(1, r, a + 1, b + 1);
else return r[a]<r[b] || r[a] == r[b] && wv[a + 1]<wv[b + 1];
}
void sort(int *r, int *a, int *b, int n, int m){
int i;
for (i = 0; i<n; i++) wv[i] = r[a[i]];
for (i = 0; i<m; i++) ws[i] = 0;
for (i = 0; i<n; i++) ws[wv[i]]++;
for (i = 1; i<m; i++) ws[i] += ws[i - 1];
for (i = n - 1; i >= 0; i--) b[--ws[wv[i]]] = a[i];
}
void DC3(int *r, int *sa, int n, int m){
int i, j, *rn = r + n, *san = sa + n, ta = 0, tb = (n + 1) / 3, tbc = 0, p;
r[n] = r[n + 1] = 0;
for (i = 0; i<n; i++) if (i % 3 != 0) wa[tbc++] = i;
sort(r + 2, wa, wb, tbc, m);
sort(r + 1, wb, wa, tbc, m);
sort(r, wa, wb, tbc, m);
for (p = 1, rn[F(wb[0])] = 0, i = 1; i<tbc; i++)
rn[F(wb[i])] = c0(r, wb[i - 1], wb[i]) ? p - 1 : p++;
if (p<tbc) DC3(rn, san, tbc, p);
else for (i = 0; i<tbc; i++) san[rn[i]] = i;
for (i = 0; i<tbc; i++) if (san[i]<tb) wb[ta++] = san[i] * 3;
if (n % 3 == 1) wb[ta++] = n - 1;
sort(r, wb, wa, ta, m);
for (i = 0; i<tbc; i++) wv[wb[i] = G(san[i])] = i;
for (i = 0, j = 0, p = 0; i<ta && j<tbc; p++)
sa[p] = c12(wb[j] % 3, r, wa[i], wb[j]) ? wa[i++] : wb[j++];
for (; i<ta; p++) sa[p] = wa[i++];
for (; j<tbc; p++) sa[p] = wb[j++];
}
int Rank[maxn], height[maxn], sa[3 * maxn], r[3 * maxn];
void calheight(int *r, int *sa, int n){
// memset(height,0,sizeof(height));
// memset(Rank,0,sizeof(Rank));
int i, j, k = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) Rank[sa[i]] = i;
for (i = 0; i<n; height[Rank[i++]] = k)
for (k ? k-- : 0, j = sa[Rank[i] - 1]; r[i + k] == r[j + k]; k++);
}
int Input()
{
char c = 'z' + 1;
int Max = 0;
num = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%s", str);
int len = strlen(str);
Max = max(Max, len);
for (int j = 0; j < len; j++)
{
index[num] = i;
r[num++] = str[j];
}
index[num] = -1;
r[num++] = c++;
}
r[num] = 0;
DC3(r, sa, num+1, 256);
calheight(r, sa, num);
return Max;
}
int num_cnt;
int ans[maxn];
int slove(int x)
{
int flag = false;
for (int i = 1; i <= num; i++)
{
int L = i;
while (height[L] < x && L <= num) L++;
if (L > num) break;
int R = L;
while (height[R] >= x && R <= num) R++;
if (R - L + 2 < n / 2) { i = R; continue; }
int cnt = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for (int j = L - 1; j < R; j++)
{
if (index[sa[j]] != -1 && !vis[index[sa[j]]])
{
vis[index[sa[j]]] = 1;
cnt++;
}
}
if (cnt > n / 2)
{
if (flag)
ans[++num_cnt] = sa[L - 1];
else{
num_cnt = 1;
ans[num_cnt] = sa[L - 1];
flag = 1;
}
}
i = R;
}
return flag;
}
int main()
{
int Case = 1;
while (scanf("%d", &n), n)
{
int Max = Input();
int L = 0, R = Max, mid, res = 0;
if(slove(Max))
res = Max;
else
{
while (L < R)
{
mid = (L + R) / 2;
if (slove(mid))
{
res = mid;
L = mid + 1;
}
else
R = mid;
}
}
if (Case++ != 1) puts("");
if (!res) puts("?");
else{
for (int i = 1; i <= num_cnt; i++)
{
int k = ans[i]; //该字串开始的位置
for (int j = 0; j < res; j++)
printf("%c", r[k+j]);
puts("");
}
}
}
return 0;
}
3.2 求在每个串中至少出现两次并且不重叠的子串
题目: SPOJ 220
http://www.spoj.com/problems/PHRASES/
题意: 给你N个串，求出在存在每个串中，并且至少出现两次，而且这两次不重叠的子串
思路: 做法和上题类似，也是先把这些串连接起来，然后二分答案，用这个答案将height数组分块，然后判断每一块中的后缀数组是否出现至少两次，然后再判断这两次是不是能够不重叠，即两个后缀数组起始位置差不小于这个二分出来的答案。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int maxn = 210000;
#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))
#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)
int abs(int a)
{
if(a < 0) return -a;
else return a;
}
char str[maxn];
int wa[maxn], wb[maxn], wv[maxn], ws[maxn];
int c0(int *r, int a, int b){
return r[a] == r[b] && r[a + 1] == r[b + 1] && r[a + 2] == r[b + 2];
}
int c12(int k, int *r, int a, int b){
if (k == 2) return r[a]<r[b] || r[a] == r[b] && c12(1, r, a + 1, b + 1);
else return r[a]<r[b] || r[a] == r[b] && wv[a + 1]<wv[b + 1];
}
void sort(int *r, int *a, int *b, int n, int m){
int i;
for (i = 0; i<n; i++) wv[i] = r[a[i]];
for (i = 0; i<m; i++) ws[i] = 0;
for (i = 0; i<n; i++) ws[wv[i]]++;
for (i = 1; i<m; i++) ws[i] += ws[i - 1];
for (i = n - 1; i >= 0; i--) b[--ws[wv[i]]] = a[i];
}
void DC3(int *r, int *sa, int n, int m){
int i, j, *rn = r + n, *san = sa + n, ta = 0, tb = (n + 1) / 3, tbc = 0, p;
r[n] = r[n + 1] = 0;
for (i = 0; i<n; i++) if (i % 3 != 0) wa[tbc++] = i;
sort(r + 2, wa, wb, tbc, m);
sort(r + 1, wb, wa, tbc, m);
sort(r, wa, wb, tbc, m);
for (p = 1, rn[F(wb[0])] = 0, i = 1; i<tbc; i++)
rn[F(wb[i])] = c0(r, wb[i - 1], wb[i]) ? p - 1 : p++;
if (p<tbc) DC3(rn, san, tbc, p);
else for (i = 0; i<tbc; i++) san[rn[i]] = i;
for (i = 0; i<tbc; i++) if (san[i]<tb) wb[ta++] = san[i] * 3;
if (n % 3 == 1) wb[ta++] = n - 1;
sort(r, wb, wa, ta, m);
for (i = 0; i<tbc; i++) wv[wb[i] = G(san[i])] = i;
for (i = 0, j = 0, p = 0; i<ta && j<tbc; p++)
sa[p] = c12(wb[j] % 3, r, wa[i], wb[j]) ? wa[i++] : wb[j++];
for (; i<ta; p++) sa[p] = wa[i++];
for (; j<tbc; p++) sa[p] = wb[j++];
}
int Rank[maxn], height[maxn], sa[3 * maxn], r[3 * maxn];
void calheight(int *r, int *sa, int n){
// memset(height,0,sizeof(height));
// memset(Rank,0,sizeof(Rank));
int i, j, k = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) Rank[sa[i]] = i;
for (i = 0; i<n; height[Rank[i++]] = k)
for (k ? k-- : 0, j = sa[Rank[i] - 1]; r[i + k] == r[j + k]; k++);
}
int n, num, aaa[maxn];
int Input()
{
char c = 'z' + 1;
int Min = 11000;
num = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%s", str);
int len = strlen(str);
Min = min(Min, len);
for (int j = 0; j < len; j++)
{
aaa[num] = i;
r[num++] = str[j];
}
aaa[num] = -1;
r[num++] = c++;
}
r[num] = 0;
DC3(r, sa, num+1, 256);
calheight(r, sa, num);
return Min;
}
int vis[15],start[15];
int slove(int x)
{
for(int i = 1; i <= num; i++)
{
int L = i;
while(height[L] < x && L <= num) L++;
if(L > num) break;
int R = L;
while(height[R] >= x && R <= num) R++;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(start, 0, sizeof(start));
for(int j = L - 1; j <= R - 1; j++)
{
if(aaa[sa[j]] != -1)
{
if(vis[aaa[sa[j]]] == 0)
{
vis[aaa[sa[j]]] = 1;//第一次出现
start[aaa[sa[j]]] = sa[j];
}
else{
if(abs(sa[j] - start[aaa[sa[j]]]) >= x)
vis[aaa[sa[j]]]++;
}
}
}
int cnt = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(vis[j] >= 2)
cnt++;
if(cnt == n) return 1;
i = R;
}
return 0;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%d", &n);
int Min = Input();
int L = 0, R = Min, mid, res = 0;
if(slove(Min))
res = Min;
else
{
while (L < R)
{
mid = (L + R) / 2;
if (slove(mid))
{
res = mid;
L = mid + 1;
}
else
R = mid;
}
}
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}