自然对数e都不知道是啥了啊？

让我们先来看一个约公元前1700年巴比伦人提出的利息问题：以20%的年息贷钱给人，何时连本带利翻一番？问题相当于求解指数方程

     

这类复利问题我们今天每一个储蓄的人都还会遇到。如果设本金为1，则历年本利和就是这样一个等比数列：

1.2，1.2²，1.2³，1.2⁴，1.2⁵，1.2⁷，…。

上述等比数列乃是一年复利一次的情况下得到的历年本利和，如果每半年复利一次，那么第一年的本利和为

，

比一年复利一次多了点；如果一个季度复利一次，那么第一年的本利和为

，

比半年复利一次又多了点；如果每月复利一次，那么第一年的本利和为

，

比一季度复利一次又多了点；如果每天复利一次，那么第一年的本利和为

1，

比每月复利一次又多了点。如果每时、每分、每秒复利，第一年的本利和分别为

1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574。

从上面的计算可以看出，年率一定，分期复利，期数增加，本利和缓慢增大；但无论期数怎么增加，本利和并不会无限制地增大，而是有一个“封顶”，永远超过不了。这个封顶就是时时刻刻都在复利时第一年的本利和，用数学语言来将就是期数趋向无穷大时第一年本利和的极限。稍懂点微积分就能算出这个极限等于

，

它的底数是

，

它就是自然对数的底。18世纪，瑞士大数学家欧拉首次用字母e来表示它，一直沿用至今。

       其值是2.71828……，是这样定义的： 当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。 注：x^y表示x的y次方。 你看，随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.718281828……这个无限不循环小数

我们不知道巴比伦人是否考虑过连续复利的问题，但肯定的是，他们并不知道e这个数。直到1683年，瑞士著名数学家雅各·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654～1705）在研究连续复利时，才意识到问题须以当时的极限来解决，但伯努利只估计出这个极限在2和3之间。欧拉则利用无穷级数

首次算出e的小数点后18位的近似值，还利用连分数证明了e是个无理数。1873年，法国著名数学家埃尔米特（C. Hermite, 1822～1901）证明了e是一个超越数。

除了复利问题，考古学也和e攀上了亲戚关系。考古学上常用的鉴定年代方法是1948年美国芝加哥大学的Willard Libby设计出来的碳-14定年法。放射性碳-14因空气中的氮原子受宇宙线轰击而形成，但它不稳定，会丢掉两个中子，衰变成碳-12。碳-14不断产生又不断衰变，结果，它在空气中的含量近似保持不变，就像一个水池，同时以同样的速度进水和出水，池内含水量不变一样。活着的动植物通过呼吸，体内自然也含有碳-14；一禽一兽、一草一木，每单位重量所含碳-14总是相同的。但是，一旦动物死亡，呼吸停止，不再从空气中吸入碳-14，而原来留在体内的碳-14则继续衰变，经过5730年（ 即半衰期），碳-14的量剩下原来的一半，经过11460年，剩下原来的四分之一。这里，经过的时间和剩余的质量之间的关系是，其中衰变常数。如果测出考古发掘物（如兽骨、木炭、贝壳等）的碳-14含量，利用上述公式即可断定其存在的年代。

与上述炭-14定年法类似，鉴定一幅画的真伪，也得和e打交道。因为任何一幅画的颜料中都含有铅-210和镭-226，因此利用两者的放射性，可以大致判别画的年代，从而让赝品“原形毕露”。

数学上除了两个十分重要的函数——自然指数函数、自然对数函数与e有关外，还有一个重要的函数——双曲函数离不了e。双曲余弦函数的表达式为

有着广泛的实际应用。它就存在于我们的身边。在公园里或街道旁，常能看见成排的水泥柱子之间两两连以铁链，你是否想过自然下垂的铁链形状是什么曲线？

也许你怎么看都会想到抛物线。其实，你只是重复了历史上数学家的错误而已。17世纪意大利著名天文学家伽利略（G. Galileo, 1564～1642）、荷兰著名数学家吉拉尔（A. Girard, 1595～1632）都曾误认为链条的曲线是抛物线。连雅各·伯努利这样的一流数学家都一筹莫展。后来，德国大数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz, 1646～1716）正确地给出了铁链的曲线方程：，这正是一条双曲余弦曲线。接着，雅各·伯努利的弟弟约翰·伯努利（John Bernoulli, 1667～1748）也成功解决了悬链线问题。

法国著名昆虫学家法布尔（J. H. Fabre, 1823～1915）在其《昆虫记》一书第九卷中有一段文字专门讲e这个神奇的数：

“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了。当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线。这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状；这就是一张被风吹鼓起来的船帆外形的那条线条，这就是母山羊耷拉下来的乳房装满后鼓起来的弧线。而这一切都需要e这个数。”

“…… 现在，这个奇妙的数e又出现了，就写在蜘蛛丝上。在一个浓雾弥漫的清晨，让我们检视一下夜间刚刚织好的网吧。粘性的蜘蛛丝，负著水滴的重量，弯曲成一条条悬链线，水滴随著曲线的弯曲排成精致的念珠，整整齐齐，晶莹剔透。当阳光穿过雾气，整张带著念珠的网映出彩虹般的亮光，就像一丛灿烂的宝石。e这个数是多么地辉煌！”

瞧！连蜘蛛网都有如此美丽的时刻，那么这个世界如以数学的眼光去看，甭提有多美了。谁会有理由不热爱这个世界，热爱自己的生命，热爱人间的烟火呢？

你小时候也许都吹过肥皂泡吧！信不信由你，介于空中两个平行圆面之间的肥皂膜就是上面将的悬链线绕一条轴旋转而成的旋转体。乡间旅行时，你看到过石拱桥了吗？石拱是什么形状的？也许你会说，当然是半圆形。如果你是学建筑的，这样幼稚的问题当然难不倒你。上个世纪60年代以来，西方桥梁建筑中出现了先进的悬链线形拱桥，可为坚不可摧。

连建筑学也与e攀上亲戚，这的确令人惊叹不已。而更令人惊叹的是，在我国江南水乡浙江绍兴，桥梁建筑史家已经发现了两座近似悬链线形的清代石拱桥，中国古代桥梁建筑技术之高超，由此可见一斑。

悬链线：岁月让我如此美丽