POJ 1322 Chocolate (dp or 组合数学母函数)

题意:

有c种颜色的糖果,你每次可以取一个糖果放在桌子上,但是一旦桌子上已经有这个颜色的糖果了,那这两颗糖果都会没掉,问让你取n次糖果最后桌子上剩下m个糖果的概率是多少。


今天学了组合数学的母函数,发现其用处有时候真的会是很犀利,这题其实可以用dp做,

dp[i][j] = dp[i-1][j-1]*(c-j+1)/c + dp[i-1][j+1]*(j+1)/c , n虽然很大,但是n大于一定的数后概率会趋于稳定,只是进行奇偶转换了。

不过其实可以利用指数型母函数的性质来求解,具体参考论文http://www.docin.com/p-286461937.html


母函数

/* **********************************************
Author      : JayYe
Created Time: 2013-8-10 17:47:10
File Name   : a.cpp
*********************************************** */

#include <stdio.h>

double po[111], ne[111], pp[111], nn[111];

double powmod(double x, int n) {
    double ret = 1;
    while(n) {
        if(n&1) ret *= x;
        x *= x;
        n /= 2;
    }
    return ret;
}

int c, n, m;
// 由于C(n, k)可能会很大,不能直接预处理出组合数
double cal(double ret, int n, int k) {
    if(n-k < k) k = n-k;
    for(int i = n;i > n-k; i--)
        ret *= i;
    for(int i = 1;i <= k; i++)
        ret /= i;
    return ret;
}

void solve() {
    int i, j;
    for(i = 0;i <= c; i++)  {
        po[i] = ne[i] = pp[i] = nn[i] = 0;
    }
    double chu = powmod(1.0/2, m);
    for(i = 0;i <= m; i++) {
        int now = i-m+i;
        int flag = 1;
        if((m-i)&1) flag = -1;
        if(now >= 0) po[now] += cal(chu*flag, m, i); // 保存e^(kx)的系数
        else    ne[-now] += cal(chu*flag, m, i);  // 保存e^(-kx)的系数
    }
    chu = powmod(1.0/2, c-m);
    for(i = 0;i <= c-m; i++) {
        double cur = cal(chu, c-m, i);  
        for(j = 0;j <= m; j++) {
            int now = j+i-(c-m)+i;
            if(now >= 0)    pp[now] += po[j]*cur;  // 直接合并系数
            else    nn[-now] += po[j]*cur;
        }
        for(j = 0;j <= m; j++) {
            int now = -j + i-(c-m)+i;
            if(now >= 0)    pp[now] += ne[j]*cur;
            else    nn[-now] += ne[j]*cur;
        }
    }
    double ans = 0;
    for(i = 1;i <= c; i++) {
        ans += cal( pp[i]*powmod((double)i/c, n),  c, m);
    }
    for(i = 1;i <= c; i++) {
        if(n&1) nn[i] = -nn[i];
        ans += cal( nn[i]*powmod((double)i/c, n),  c, m);
    }
    printf("%.3lf\n", ans);
}

int main() {
    while(scanf("%d", &c) != -1 && c) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        if(m > n || m > c || (n-m)%2==1) {
            puts("0.000");  continue;
        }
        // 尤其要注意n等于0 && m等于0 要特判
        if(n == 0 && m == 0) {
            puts("1.000");  continue;
        }
        solve();
    }
    return 0;
}


dp:


/* **********************************************
Author      : JayYe
Created Time: 2013-8-10 17:47:10
File Name   : a.cpp
*********************************************** */

#include <stdio.h>
#include <string.h>

double dp[2][105];

int main() {
    int c, n, m, i, j;
    while(scanf("%d", &c) && c) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        if(m > n || m > c || (n-m)%2 != 0)   {
            puts("0.000");  continue;
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0][0] = 1;
        int cur = 0;
        if(n > 1000)    n = 1000 + (n&1); //注意这里千万不能写错!容易写成n = 1000 + n&1
        for(i = 1;i <= n; i++) {
            for(j = 0;j <= c; j++) {
                dp[cur^1][j] = 0;
                if(j > 0)
                    dp[cur^1][j] += dp[cur][j-1]*(c-j+1)/c;
                if(j < c)
                    dp[cur^1][j] += dp[cur][j+1]*(j+1)/c;
            }
            cur ^= 1;
        }
        printf("%.3lf\n", dp[cur][m]);
    }
    return 0;
}


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