问题:任意给定一序列,求解连续子序列的最大和。
算法一:最简单粗暴的解法,把所有可能的情况简单遍历。如果序列长度为n,设和最大的子序列为[i,j],i从0到n遍历,j从i到n遍历,和为数组元素下标为i~j的累加,时间复杂度为O(n^3).
//立方算法 int MaxSubSepSum(int *a, int n) { int MaxSum = 0; for(int i = 0; i < n; ++i) { for(int j = i; j < n; ++j) { int TmpSum = 0; for(int k = i; k <= j; ++k) TmpSum += a[k]; if(TmpSum > MaxSum) MaxSum = TmpSum; } } return MaxSum; }
算法二:立方算法中求和有很多重复计算,通过保存中间状态减小计算量,下面是两个平方算法,时间复杂度O(n^2)。
//平方算法1 int MaxSubSepSum(int *a, int n) { int MaxSum = 0; for(int i = 0; i < n; ++i) { int TmpSum = 0; for(int j = i; j < n; ++j) { TmpSum += a[j]; if(TmpSum > MaxSum) MaxSum = TmpSum; } } return MaxSum; } //平方算法2 int MaxSubSepSum(int *a, int n) { int *SumOfZero2i = new int[n]; SumOfZero2i[-1] = 0; for(int i = 1; i < n; ++i) SumOfZero2i[i] = SumOfZero2i[i-1] + a[i]; int MaxSum = 0; for(int i = 0; i < n; ++i) { for(int j = i; j < n; ++j) { int Sum = SumOfZero2i[j] - SumOfZero2i[i-1]; if(Sum > MaxSum) MaxSum = Sum; } } return MaxSum; }
算法三:ShaMos设计的利用分治思想的算法,把序列分为左半部分和右半部分,最大和要么出现在左半部分,要么出现在右半部分,要么横跨左右部分。前两种情况可以递归求解,第三种情况的最大和可以通过求出前半部分的最大和(包括前半部分的最后一个元素)以及后半部分的最大和(包含后半部分的第一个元素)相加得到。自己写这个算法的时候出现了死循环问题,问题在于数组长度不断减半,最后数组只剩一个时仍然划分为左右两部分造成的死循环,因此分治算法特别要注意边界,否则可能造成死循环。
时间复杂度: T(1) = 1;
T(N) = 2T(N/2) + O(N)
推出:T(N) = O(NlogN)
//分治算法 int Max3(int a, int b, int c) { int d = a > b ? a : b; return d > c ? d : c; } int MaxSubSum(int *a, int start, int end) { //不可少,不断二分最后数组只剩一个值,需单独判断,否则造成死循环 if(start == end) { if(a[start] > 0) return a[start]; else return 0; } int center = (end + start)/2; int MaxLeftSum = MaxSubSum(a, start, center); int MaxRightSum = MaxSubSum(a, center+1, end); int MaxLeftBorderSum = 0, MaxLeftTmpSum = 0; for(int i = center; i >= start; --i) { MaxLeftTmpSum += a[i]; if(MaxLeftTmpSum > MaxLeftBorderSum) MaxLeftBorderSum = MaxLeftTmpSum; } int MaxRightBorderSum = 0, MaxRightTmpSum = 0; for(int i = center + 1; i <= end; ++i) { MaxRightTmpSum += a[i]; if(MaxRightTmpSum > MaxRightBorderSum) MaxRightBorderSum = MaxRightTmpSum; } return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum); } int MaxSubSeqSum(int *a, int n) { return MaxSubSum(a, 0 , n-1); }算法四:线性扫描算法,如果只扫描一趟,该如何设计算法呢?如果设最大子序列和MaxSum初始值为零,临时变量MaxTmpSum记录数组元素的累加和,如果MaxTmpSum大于MaxSum则替换MaxSum。但是遍历有可能舍弃前面的序列,重新累加一个新的子序列,什么时候舍弃呢?MaxSum初始值为零,如果累加和小于零那这一段序列就没有保留的必要了,因为它已经小于MaxSum的最小值零了,从新的位置开始求和。时间复杂度O(N)。
//线性扫描算法 int MaxSubSeqSum(int *a, int n) { int MaxSum = 0, MaxTmpSum = 0; for(int i = 0; i < n; ++i) { MaxTmpSum += a[i]; if(MaxTmpSum > MaxSum) MaxSum = MaxTmpSum; else if(MaxTmpSum < 0) MaxTmpSum = 0; } return MaxSum; }