拉格朗日乘子法和KKT条件

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拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件是求解约束优化问题的重要方法,在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。前提是:只有当目标函数为凸函数时,使用这两种方法才保证求得的是最优解。

对于无约束最优化问题,有很多经典的求解方法,参见无约束最优化方法。

拉格朗日乘子法

先来看拉格朗日乘子法是什么,再讲为什么。

minf(x)s.t.hi(x)=0i=1,2...,n

这个问题转换为

min[f(x)+i=1nλihi(x)](1)

其中 λi0 ,称为拉格朗日乘子。

下面看一下wikipedia上是如何解释拉格朗日乘子法的合理性的。

现有一个二维的优化问题:

minf(x,y)s.t.g(x,y)=c

我们可以画图来辅助思考。

拉格朗日乘子法和KKT条件_第1张图片

绿线标出的是约束 g(x,y)=c 的点的轨迹。蓝线是 f(x,y) 的等高线。箭头表示斜率,和等高线的法线平行。

从图上可以直观地看到在最优解处,f和g的斜率平行。

[f(x,y)+λ(g(x,y)1)]=0λ0

一旦求出 λ 的值,将其套入下式,易求在无约束极值和极值所对应的点。

F(x,y)=f(x,y)+λ(g(x,y)c)

新方程 F(x,y) 在达到极值时与 f(x,y) 相等,因为 F(x,y) 达到极值时 g(x,y)c 总等于零。

(1) 取得极小值时其导数为0,即 f(x)+ni=1λihi(x)=0 ,也就是说 f(x) h(x) 的梯度共线。

KKT条件

先看KKT条件是什么,再讲为什么。

letL(x,μ)=f(x)+qk=1μkgk(x)

其中 μk0,gk(x)0

μk0gk(x)0} => μg(x)0

maxμL(x,μ)=f(x)(2)

minxf(x)=minxmaxμL(x,μ)(3)

maxμminxL(x,μ)=maxμ[minxf(x)+minxμg(x)]=maxμminxf(x)+maxμminxμg(x)=minxf(x)+maxμminxμg(x)

μk0gk(x)0} => minxμg(x)={0ifμ=0org(x)=0ifμ>0andg(x)<0

maxμminxμg(x)=0 此时 μ=0org(x)=0

maxμminxL(x,μ)=minxf(x)+maxμminxμg(x)=minxf(x)(4)
此时 μ=0org(x)=0

联合 (3) , (4) 我们得到 minxmaxμL(x,μ)=maxμminxL(x,μ)

亦即 L(x,μ)=f(x)+qk=1μkgk(x)μk0gk(x)0 => minxmaxμL(x,μ)=maxμminxL(x,μ)=minxf(x)

我们把 maxμminxL(x,μ) 称为原问题 minxmaxμL(x,μ) 的对偶问题,上式表明当满足一定条件时原问题、对偶的解、以及 minxf(x) 是相同的,且在最优解 x μ=0org(x)=0 。把 x 代入 (2) maxμL(x,μ)=f(x) ,由 (4) maxμminxL(x,μ)=f(x) ,所以 L(x,μ)=minxL(x,μ) ,这说明 x 也是 L(x,μ) 的极值点,即 L(x,μ)x|x=x=0

最后总结一下:

L(x,μ)=f(x)+qk=1μkgk(x)μk0gk(x)0 => minxmaxμL(x,μ)=maxμminxL(x,μ)=minxf(x)=f(x)μkgk(x)=0L(x,μ)x|x=x=0

KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化,如果我们把等式约束和不等式约束一并纳入进来则表现为:

L(x,λ,μ)=f(x)+ni=1λihi(x)+qk=1μkgk(x)λi0hi(x)=0μk0gk(x)0 => minxmaxμL(x,λ,μ)=maxμminxL(x,λ,μ)=minxf(x)=f(x)μkgk(x)=0L(x,λ,μ)x|x=x=0

注: x,λ,μ 都是向量。

L(x,λ,μ)x|x=x=0 表明 f(x) 在极值点 x 处的梯度是各个 hi(x) gk(x) 梯度的线性组合。

原文来自:博客园(华夏35度)http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:Orisun

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