【Ural1041】Nikifor【拟阵】【线性无关】【高斯消元】【矩阵的秩】

【题目链接】

这题有毒...

论文 刘雨辰《对拟阵的初步研究》 里提到了这个题，于是来做一下。

这题做法是贪心，把每个向量的花费从小到大排序，然后能放就放。

主要是判断放入一个向量之后，是不是线性无关的。所以我们去求矩阵的秩，看是否增加了1。

和一般的高斯消元不同，一般的是用当前行去消其他行，而这个是用其他行消当前行...为了方便，记录一个vis[j]数组，表示第j列（第j列非0）的向量编号。

消元时候枚举当前行的元素，然后直接用vis[j]这个向量去消当前行就行了。如果vis[j]没有向量，那么秩一定增加了1，所以令vis[j]为当前行，跳出消元。

还有一点，此题数据范围太大了，浮点数精度不够，又不能去写高精度，但是发现我们只需要知道某个元素是不是0就行了。

所以我们在模域下计算，原本分数的运算现在只需计算分子即可（注意化成既约分数）。

/* Pigonometry */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 55, maxm = 2005, p = 1000000007;

int n, m, mat[maxm][maxn], ord[maxn], vis[maxn];

struct _data {
	int c, id;

	bool operator < (const _data &x) const {
		return c != x.c ? c < x.c : id < x.id;
	}
} vec[maxm];

inline int iread() {
	int f = 1, x = 0; char ch = getchar();
	for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) f = ch == '-' ? -1 : 1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return f * x;
}

inline bool update(int now, int id) {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(!mat[id][i]) continue;
		if(!vis[i]) return vis[i] = id;
		int d = __gcd(mat[id][i], mat[ord[i]][i]);
		int up = mat[id][i] / d, dw = mat[vis[i]][i] / d;
		for(int j = i; j <= n; j++) mat[id][j] = ((LL)dw * mat[id][j] - (LL)up * mat[vis[i]][j] + p + p) % p;
	}
	return 0;
}

int main() {
	m = iread(); n = iread();
	for(int i = 1; i <= m; i++) for(int j = 1; j <= n; j++)
		mat[i][j] = iread();
	for(int i = 1; i <= m; i++) vec[i] = (_data){iread(), i};

	sort(vec + 1, vec + 1 + m);
	int now = 1, ans = 0;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		if(update(now, vec[i].id)) ans += vec[i].c, ord[now++] = vec[i].id;
		if(now > n) break;
	}

	if(now <= n) {
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	printf("%d\n", ans);
	sort(ord + 1, ord + 1 + n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", ord[i]);
	return 0;
}