同余方程组有解的条件

记号与约定：
　gcd(a, b)：a与b的最大公约数
　lcm(a, b)：a与b的最小公倍数
　x == a (mod m)：x与a关于模m同余

　x == a1 (mod m1), x == a2 (mod m2)
　有解的充要条件是 gcd(m1, m2) | (a1 - a2)，并且：
　　设其中一个特解为x0，则通解为 x = x0 + k * lcm(m1, m2) (k为整数)

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命题：用F[i]表示方程 x == a[i] (mod m[i]), 则方程组 F[1..n]有解的充要条件为对所有1 <= i < j <= n,
　　　方程组(F[i], F[j]) 有解。

证明：
当n=3时，
　设F[1]与F[2]的特解为x0, 则F[1]与F[2]的通解为：
　　x = x0 + k * lcm(m[1], m[2])，
　带入F[3]，有
　　x0 - a[3] == -k * lcm(m[1], m[2]) (mod m[3])
　于是原命题等价转化为：

　已知：
　　gcd(m[i], m[j]) | (a[i] - a[j]) (1 <= i < j <= 3)
　　m[1] | (x0 - a1)
　　m[2] | (x0 - a2)
　求证：
　　gcd(lcm(m[1], m[2]), m[3]) | (x0 - a3)
　证明：
　　利用质因数分解，并根据max(min(a, b), c) = min(max(a, c), max(b, c))，立即得
　　　gcd(lcm(a, b), c) = lcm(gcd(a, c), gcd(b, c))
　　于是求证部分化为：
　　　lcm(gcd(m[1], m[3]), gcd(m[2], m[3])) | (x0 - a3)
　　∵ m[1] | (x0 - a[1])
　　∴ gcd(m[1], m[3]) | (x0 - a[1])，
　　　又 gcd(m[1], m[3]) | (a[1] - a[3])
　　于是
　　　gcd(m[1], m[3]) | (x0 - a[3])
　　同理，
　　　gcd(m[2], m[3]) | (x0 - a[3])
　　由以上两式可知
　　　lcm(gcd(m[1], m[3]), gcd(m[2], m[3])) | (x0 - a[3])
　　证毕

当n >= 4时，
　将F[1]与F[2]求解后合并为G: x == b (mod n)
　则对于 i >= 3，由于F[1], F[2], F[i]两两有解，得G, F[i]亦有解。
　由此可归化为n - 1的情况，其中n - 1个方程为G, F[3], F[4], ..., F[n]，
　且满足两两有解。