bzoj 1096: [ZJOI2007]仓库建设

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

Source

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题解：斜率优化

dis[i] 表示1到i的距离

d[i]表示i-1 到i 的距离

sum[i]表示1 到i 运输费用的前缀和

c[i]表示在i 建立仓库的费用

f[i]表示在i建立仓库，1-i的库存全部运向i的运输费用

dp[i]=dp[j]+f[i]-f[j]-sum[j]*(dis[i]-dis[j])+c[i] 表示在i建立工厂，总费用（建造费用+运输费用）的最小值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 1000003
#define ll long long 
using namespace std;
ll n,m;
ll c[N],p[N],d[N],sum[N],f[N],dp[N],dis[N],q[N];
ll K(ll x)
{
    return -sum[x];
}
ll B(ll j)
{
    return dp[j]-f[j]+sum[j]*dis[j];
}
ll calc(ll i,ll j)
{
    return K(j)*dis[i]+B(j);
}
bool pd(ll x1,ll x2,ll x3)
{
    ll w1=(K(x1)-K(x3))*(B(x2)-B(x1));
    ll w2=(K(x1)-K(x2))*(B(x3)-B(x1));
    return w1>=w2;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (ll i=1;i<=n;i++)
     {
        scanf("%lld%lld%lld",&dis[i],&p[i],&c[i]);
        d[i]=(ll)dis[i]-dis[i-1]; 
        sum[i]=(ll)sum[i-1]+p[i];
     }
    for (ll i=1;i<=n;i++)
     f[i]=f[i-1]+sum[i-1]*d[i];
    dp[0]=0;
    ll head=0,tail=0;
    for (ll i=1;i<=n;i++)
     {
        while (head<tail&&calc(i,q[head])>=calc(i,q[head+1]))
         head++;
        dp[i]=calc(i,q[head])+f[i]+c[i]; 
        while (head<tail&&pd(i,q[tail-1],q[tail]))
         tail--;
        tail++; q[tail]=i;
     }
    cout<<dp[n]<<endl;
}