HDU 5622 KK's Chemical（dp + 计数、特殊图的染色多项式）

题意:

有1≤N≤100瓶化学药品，编号为0到N−1，第i瓶和第ci瓶放在一起时会发生爆炸,将他们装进k个不同的盒子里,盒子可以为空
不能把两瓶会造成爆炸的药品放进同一个盒子，问有多少种不同的方案，结果对109+7取模

分析:

如果将冲突的药品进行连边,问题就转化成了对这个图的顶点进行k染色的方案数
题目的这种输入方式的图,具有一个单环连一些“树”的特点
对于n个点的环进行k染色方案数可以dp来求
f[i][1]:=i个点的环,且i点染成1色的方法数,f[i][0]:=i个点的环,且i点不染成1色的方法数
令1点染成1色,那么n个点成环的话答案就是ans=f[n][0]
f[1][1]=k,f[1][0]=0
f[i][0]=(k−2)⋅f[i−1][0]+(k−1)⋅f[i−1][1]
如果前一个是其他色,i不能是1且不能和前一个相同,有k−2种选择
如果前一个是1色,i不能是1,有k−1种选择
f[i][1]=1⋅f[i−1][0], i只能染成1色
对于附带的那些树,以环上某个点为根,只要不与父亲的颜色相同即可
每个点都有k−1种选择,方法数是(k−1)tree_size−1,不算根
但是如果不形成环的话,根有k种选择,其它点要与父亲不同各有k−1种选择,这和大小为2的环带树的情况是相同的,特判下即可

发现图有很棒的这个性质使得问题变得简单了
不过对于一般图的话,并没有多项式的算法,记录一些概念如下:

PG(k)=PG′(k)−PG′′(k)
n阶完全图: PG(k)=Ank
零图: PG(k)=kn
树: PG(k)=k(k−1)n−1

代码:

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#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
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#include <set>
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using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << " "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 100 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

typedef long long LL;

int n, k, vis[N];
vector<int> G[N];
LL f[N][2]; //1 for color1, 0 for others

void dfs(int u, int fa, int dep, int& cycle, int& sz) {
    if(vis[u]) {
        if(!cycle) cycle = dep - vis[u];
        return;
    }
    ++sz;
    vis[u] = dep;
    for(int v : G[u]) {
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u, dep + 1, cycle, sz);
    }
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
// freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    int t; scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d", &n, &k);
        for(int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            int x; scanf("%d", &x);
            G[i].push_back(x);
            G[x].push_back(i);
        }

        f[1][0] = 0, f[1][1] = k;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            f[i][0] = (f[i - 1][0] * (k - 2) + f[i - 1][1] * (k - 1)) % MOD;
            f[i][1] = f[i - 1][0];
        }

        LL ans = 1;
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            if(vis[i]) continue;
            int cycle, sz; cycle = sz = 0;
            dfs(i, -1, 1, cycle, sz);
            if(!cycle) cycle = 2;
            ans = ans * f[cycle][0] % MOD;
            sz -= cycle;
            while(sz--) ans = ans * (k - 1) % MOD;
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}